$\lim\limits_{x\to 1}(x-1)=0$ sağlandığından ve $1$'nin herhangi bir civarında $x-1$ sıfır fonksiyon olmadığından \[\lim\limits_{x\to 1} \dfrac{\sin (x-1)}{x-1}=1\]eşitliği sağlanır.
Paydayı $(x-1)(x-2)$ olarak çarpanlara ayıralım ve üst bilgiyi kullanabilecek şekilde ifadeyi düzenleyip limit değerini bulalım. Bu yöntem ile \begin{align*}\lim\limits_{x\to 1} \dfrac{\sin (x-1)}{x^2-3x+2} \ &= \ \lim\limits_{x\to 1} \dfrac{\sin (x-1)}{(x-1)(x-2)} \\[12pt]\ &= \ \lim\limits_{x\to 0} \left[\frac{\sin (x-1)}{x-1} \cdot\dfrac{1}{x-2}\right] \\[12pt]\ &= \ 1\cdot \frac{1}{1-2} \\[12pt]\ &= \ -1\end{align*}eşitliğini buluruz.
--------------------
Kullanılan bir bilgi:
$u$ fonksiyonu $a$'nın bir civarında sıfır fonksiyon olmasın ve $\lim\limits_{x\to a} u(x)=0$ sağlansın. Bu durumda $$\lim\limits_{x\to a} \dfrac{\sin u(x)}{u(x)}=1$$eşitliği sağlanır.
Bu bilgiyi $u(x)=x-1$ kurallı $u: \mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonu için kullandık.