$x\sin\left(\dfrac1x\right)$ fonksiyonunun $0$ noktasındaki limiti

Question

$f:\mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonunun kuralı $$f(x)=\begin{cases} x\sin\left(\dfrac1x\right), &x \ne 0 \text{ ise},\\[15pt] 5, &x = 0 \text{ ise}.  \end{cases}$$  olsun.  $f$ fonksiyonunun $0$ noktasındaki limitini bulunuz.

Answer 1

$h\ne 0$ olmak üzere $-1 \le \sin\left(\dfrac1h\right) \le 1$ ve $-|h| \le h \le |h|$ eşitsizlikleri sağlandığından $$-|h|\le h\sin\left(\frac1h\right) \le |h|$$ eşitsizliği de sağlanır. $\lim\limits_{h \to 0}(-|h|)=\lim\limits_{h \to 0}|h|=0$ olduğundan, sıkıştırma savı gereği, $$\lim_{h \to 0}h\sin\left(\frac1h\right)=0$$ eşitliği sağlanır.