Her gerçel $\theta$ için $1-\cos 2\theta=2\sin^2\theta$ eşitliği sağlanır.
$1-\cos(\sin x)$ yerine $2\sin^2\left((\sin x)/2\right)$ yazlım. İfadeyi $0$ noktasında $x^{-1}\sin x$ limitinin $1$ olduğunu kullanabilecek şekilde düzenleyelim ve limit değerini bulalım. Bu yol ile \begin{align*}\lim\limits_{x\to 0} \frac{1-\cos(\sin x)}{\sin^2 x}\ &= \ \frac{2\sin^2\left(\dfrac{\sin x}2\right)}{\sin^2 x} \\[15pt] &= \ \lim\limits_{x\to 0}\left[\frac12\cdot \left(\frac{\sin\left(\dfrac{\sin x}2\right)}{\dfrac{\sin x}2}\right)^2\right]\\[15pt] &=\ \frac12\cdot 1^2\\[15pt] &= \ \frac12\end{align*} eşitliğini elde ederiz.
_______________________________
Kullanılan bir bilgi:
$u$ fonksiyonu $a$'nın bir civarında sıfır fonksiyon olmasın ve $\lim\limits_{x\to a} u(x)=0$ sağlansın. Bu durumda $$\lim\limits_{x\to a} \dfrac{\sin u(x)}{u(x)}=1$$eşitliği sağlanır.
Bu bilgiyi $a=0$ ile $u(x)=(\sin x)/2$ kurallı $u: \mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonu için kullandık.