'$a$ ve $b$ rasyonel sayılarsa ve $a+b\sqrt2=3-5\sqrt2$ ise $a=3$ ve $b=-5$ olur.' ama neden?

Question

$a$, $b$, $c$, $d$ rasyonel sayılar ve $\alpha$ bir irrasyonel sayı olsun. $$a+b\alpha=c+d\alpha$$ eşitse $a=c$ ve $b=d$ olur.

Örneğin,
     $a$ ve $b$ rasyonel sayılarsa ve $a+b\sqrt2=3-5\sqrt2$ ise $a=3$ ve $b=-5$ olur.

Answer 1

İspatı verecek bilgi:
Rasyonel sayıların farkları ve birbirlerine oranları da (payda sıfır olmadıkça) rasyonel sayılardır.

Adım 1: (b=d olmalı)
$b=d$ sağlanmazsa bu durumda $$\alpha=\frac{c-a}{b-d}$$ eşitliği sağlanır. Eşitliğin sağ tarafının rasyonel olması $\alpha$ sayısının irrasyonel olması ile çelişir. Demek ki $b=d$ olmalı.

Adım 2: (a=c olmalı)
$d-b=0$ olduğundan $$a=c+(d-b)\alpha=c$$ eşitliği de sağlanır.