Kullanıcı kayıtları açıktır. Kayıtlı kullanıcılar sadece soru ve cevaplara oy verebilir. Favoriler bölümüne kendi istedikleri soruları ekleyebilirler.
0 oy
Sonsuz Toplamlar kategorisinde tarafından
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{n^3+\sin n}{3^n+\sin n}$$ toplamının yakınsaklığını inceleyiniz.

1 cevap

0 oy
tarafından

Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız. 

Analiz:
Toplamın içerisindeki ifadeyi daha basit bir biçimde görmeye çalışalım. Toplamı basitleştirmek istersek paydaki en güçlü terim olan $n^3$ ve paydadaki en güçlü terim olan $3^n$ ile ilgilenmeliyiz. Bu şekilde bir ilişkilendirme ile istenilen toplamı terimleri $n^3/3^n$ olan toplamla ilişkilendirmiş oluruz. Bir adım daha ilerleterek $n^3\le 4\cdot 2^n$ olduğunu kullanırsak, basit hali ile, toplamı $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{2}{3}\right)^n$$ toplamı ile ilişkilendirmiş oluruz.

Direkt karşılaştırma testi için aday:
Her $n$ pozitif tam sayısı için  $-1<\cos n,\sin n<1$ ve $n^3\le 4\cdot 2^n$ eşitsizlikleri sağlanır, ve  \begin{equation}\label{eq}0 \leq  \dfrac{n^3+\sin n}{3^n+\sin n} \leq  \dfrac{4\cdot 2^n+2^n}{3^n-\frac123^n}=10\cdot\left(\frac23\right)^n\end{equation} eşitsizliğini elde ederiz. (Kullandığımız ikinci eşitsizlik tümevarım ile gösterilebilir.)

İstenen toplamın yakınsaklığı ve sonuç:
$|2/3|< 1$ olduğundan geometrik toplam olan $\sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{2}{3}\right)^n$ toplamı yakınsak olur. Sabit çarpım yakınsaklığı değiştirmediğinden $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty 10\left(\frac{2}{3}\right)^n$$ toplamı da yakınsak olur.

Bu toplam yakınsak olduğundan ve Eşitlik \eqref{eq} sağlandığından, direkt karşılaştırma testi gereği, $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{n^3+\sin n}{3^n+\sin n}$$ toplamının yakınsak olur.

(Tümevarımlı ispat buraya eklenebilir.)

...