Kullanıcı kayıtları açıktır. Kayıtlı kullanıcılar sadece soru ve cevaplara oy verebilir. Favoriler bölümüne kendi istedikleri soruları ekleyebilirler.
0 oy
Sonsuz Toplamlar kategorisinde tarafından
$$\sum_{n=1}^\infty \sin\left(\dfrac1{n^2}\right)$$ toplamının yakınsaklığını inceleyiniz.

1 cevap

0 oy
tarafından

Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız. 

Analiz:
$0$ noktasında $x^{-1}\sin x$ limitinin $1$ olduğunu kullanarak bu toplamı terimleri $1/n^2$ olan toplamla ilişkilendirebiliriz.

Limit alma:
Toplam içerisindeki terimin limitine baktığımızda\begin{align*} \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{\sin\left(n^{-2}\right)}{n^{-2}}\ &= \ \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\sin\left(x^{-2}\right)}{x^{-2}}\qquad{\color{teal}{\text{(diziden fonksiyona)}}}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{t \to 0^+} \dfrac{\sin\left(t\right)}{t}\qquad{\color{teal}{(t=x^{-2})}}\\[15pt] &= \ 1\end{align*}eşitliği sağlanır.

Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$p=2> 1$ olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}$$ toplamı  $p$-toplam testi gereği yakınsaktır.

Toplamın yakınsaklığı:
Bu toplam yakınsak olduğundan, limit karşılaştırma testi gereği, pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\sin\left(\dfrac1{n^2}\right)$$ toplamı yakınsak olur.

...