Yavru l'Hôpital Kuralının İspatı (0/0)

Question

$f,g:\mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonlar ve $a$ bir gerçel sayı olmak üzere $f(a)=g(a)=0$ olsun;  $g^\prime(a)\ne 0$ ile $f^\prime(a)$ var olsun. Bu durumda $$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f^\prime(a)}{g^\prime(a)}$$ eşitliği sağlanır.

Answer 1

$f$ ve $g$ fonksiyonlarının $a$ noktasındaki türevleri var olduğundan $$f^\prime(a)=\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \ \ \ \text{ ve } \ \ \ g^\prime(a)=\lim\limits_{x \to a} \frac{g(x)-g(a)}{x-a} $$ eşitlikleri sağlanır. $f(a)=g(a)=0$ değerleri sıfır olduğundan $$f^\prime(a)=\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{x-a} \ \ \ \text{ ve } \ \ \ g^\prime(a)=\lim\limits_{x \to a} \frac{g(x)}{x-a} $$ eşitlikleri sağlanır. $g^\prime(a)\ne 0$ olduğundan $$\frac{f^\prime(a)}{g^\prime(a)}=\dfrac{\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{x-a}}{\lim\limits_{x \to a} \dfrac{g(x)}{x-a}}=\lim\limits_{x \to a}\dfrac{\dfrac{f(x)}{x-a}}{\dfrac{g(x)}{x-a}}=\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}$$ eşitliği sağlanır.