Fermat, Rolle, Ortalama Değer, Genelleştirilmiş Ortalama Değer Savı

Question

Sınır noktaları için Fermat Savı:
$b>a$ gerçel sayılar olmak üzere $f:(a,b)\to \mathbb R$ fonksiyonu bir $c\in(a,b)$ değeri için en büyük ya da en küçük değerini alıyorsa $f^\prime(c)$ değeri varsa  $$f^\prime(c)=0$$ eşitliği sağlanır.

Rolle Savı:
$b>a$ gerçel sayılar olmak üzere $f:[a,b]\to \mathbb R$ fonksiyonu sürekli ve $(a,b)$ aralığı üzerinde türevlenebilir olsun. $f(a)=f(b)$ ise $(a,b)$ aralığındaki bir $c$ değeri için $$f^\prime(c)=0$$ eşitliği sağlanır.

Ortalama Değer Savı:
$b>a$ gerçel sayılar olmak üzere $f:[a,b]\to \mathbb R$ fonksiyonu sürekli ve $(a,b)$ aralığı üzerinde türevlenebilir ise $(a,b)$ aralığındaki bir $c$ değeri için $$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^\prime(c)$$ eşitliği sağlanır.

Genelleştirilmiş Ortalama Değer Savı:
$b>a$ gerçel sayılar olmak üzere $f,g:[a,b]\to \mathbb R$ fonksiyonları sürekli ve $(a,b)$ aralığı üzerinde türevlenebilir ise $(a,b)$ aralığındaki bir $c$ değeri için $$(f(b)-f(a))\cdot g^\prime(c)=(g(b)-g(a))\cdot f^\prime(c)$$ eşitliği sağlanır.

Ayrıca $(a,b)$ aralığındaki her $x$ değeri için $g^\prime(x) \ne 0$  sağlanırsa sonucu  $$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^\prime(c)}{g^\prime(c)}$$  olarak ifade edebiliriz.

Answer 1

Sınır noktaları için Fermat Savının İspatı:
$f$ fonkisyonu $c$ noktasında en büyük değerini alırsa
                     $a<x<c$ değerleri için $\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}\ge 0$
                     $c<x<b$ değerleri için $\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}\le 0$
eşitsizlikleri sağlanır. $f^\prime(c)$ değeri var olduğundan, limitin baskınlık özelliği ile,
                    $f^\prime(c)=\lim\limits_{x\to c^-}\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}\ge\lim\limits_{x\to c^-}0=0$ ve
                    $f^\prime(c)=\lim\limits_{x\to c^+}\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}\le\lim\limits_{x\to c^+}0=0$
eşitsizlikleri sağlanır ve  $$f^\prime(c)=0$$ eşitliğini elde ederiz.
    
$f$ fonkisyonu $c$ noktasında en küçük değerini aldığında benzer bir ispat verilebilir. Bunun yerine $-f$ fonksiyonu ile ilgilenirsek $-f$ fonkisyonu $c$ noktasında en büyük değerini alır ve üst bilgi ile $-f^\prime(c)=0$ eşitliği, yani $f(c)=0$ eşitliği sağlanır.

Rolle Savının İspatı:
$f$ fonksiyonu sürekli olduğundan $(a,b)$ aralığındaki bir $s$ değeri için  $f(s)\ne f(a)=f(b)$ olursa $f$ fonksiyonu uç noktaları dışında bir $c$ değeri için, sınır değer savı gereği, en büyük ya da en küçük değere sahip olur. $f$ fonksiyonu $(a,b)$ aralığında türevlenebilir olduğundan $c$ noktasında da türevlenebilir ve dolayısıyla sınır noktaları için Fermat savı gereği $f^\prime(c)=0$ eşitliği sağlanır.

$f$ fonksiyonu sabit fonksiyon olursa $(a,b)$ aralığındaki her $c$ değeri için $f^\prime (c)=0$ eşitliği sağlanır.

Ortalama Değer Savının İspatı:
$(a,f(a))$ ve $(b,f(b))$ noktalarından geçen doğrunun denklemi $$y=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot(x-a)$$ olur. $f$ fonksiyonu ile bu doğrunun farklarını $[a,b]$ üzerinde alırsak Rolle savına ve amacımıza uygun bir fonksiyon elde ederiz.

$g:[a,b]\to \mathbb R$ fonksiyonunu kuralı $$g(x)=f(x)-\left[f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\right]$$ olacak şekilde tanımlayalım. $g$ fonksiyonu da $f$ fonksiyonu gibi $[a,b]$ üzerinde sürekli ve $(a,b)$ üzerinde türevlenebilir olur. Ayrıca $g(a)=g(b)=0$ olduğundan Rolle savı gereği bir $c\in (a,b)$ değeri için $$g^\prime(c)=0$$ eşitliği sağlanır. Ayrıca $$g^\prime(c)=f^\prime(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$ olduğundan istediğimiz eşitliği elde ederiz.

Genelleştirilmiş Ortalama Değer Savının İspatı:
Rolle savını kullanabilmek için amacımıza uygun $h:[a,b]\to \mathbb R$ fonksiyonunu kuralı $$h(x)=(f(b)-f(a))\cdot g(x)-(g(b)-g(a))\cdot f(x)$$ olacak şekilde tanımlayalım. $h$ fonksiyonu da $f$ ve $g$ fonksiyonu gibi $[a,b]$ üzerinde sürekli ve $(a,b)$ üzerinde türevlenebilir olur. Ayrıca $h(a)=h(b)$ olduğundan Rolle savı gereği bir $c\in (a,b)$ değeri için $$h^\prime(c)=0$$ eşitliği sağlanır. Ayrıca $$h^\prime(c)=(f(b)-f(a))\cdot g^\prime(c)-(g(b)-g(a))\cdot f^\prime(c)$$ olduğundan istediğimiz eşitliği elde ederiz.

Ek: $h(b)=h(a)$ olduğunu göstermek için $h(b)-h(a)$ ifadesini ortak parantez ile $$(f(b)-f(a))\cdot (g(b)-g(a))-(g(b)-g(a))\cdot (f(b)-f(a))$$ olarak yazabiliriz. Buradan $h(a)-h(b)=0$ olduğunu görebiliriz.