$g$ fonksiyonu $a$ noktasında türevlenebilir olduğundan süreklidir. Ayrıca $h$ değişkenli $a+h$ fonksiyonu $h$ sıfıra yaklaşınca $a$ değerine yaklaştığından $$\lim\limits_{h \to 0}g(a+h)=g(a)$$ eşitliği sağlanır.
$1/g$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki türevi \begin{align*}\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{(1/g)(a+h)-(1/g)(a)}{h}&=\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{g(a)-g(a+h)}{g(a)\cdot g(a+h)\cdot h}\\[17pt]&=\lim_{h \to 0} \left[-\frac{ g(a+h)-g(a)}{h}\cdot\frac1{g(a)}\cdot\frac1{g(a+h)}\right]\\[17pt] &=-g^\prime(a)\cdot\frac1{g(a)}\cdot\frac1{g(a)} \\[17pt] &=-\frac{g^\prime (a)}{(g(a))^2}\end{align*} değerine eşit olur.
----------------------
$g$ fonksiyonu $a$ noktasında türevlenebilir ve $g(a)\ne0 $ olduğundan, bir üst bilgi gereği, $1/g$ fonksiyonu da $a$ noktasında türevlenebilirdir ve $$\left(\frac1g\right)^\prime(a)=-\frac{g^\prime (a)}{(g(a))^2}$$ eşitliği sağlanır.
Ayrıca $f$ fonksiyonu da $a$ noktasında türevlenebilir olduğundan, türevin çarpım eşitliği gereği, $f/g$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki türevi \begin{align*}\left(\frac fg\right)^\prime(a)&=\left(f\cdot \frac 1g\right)^\prime(a)\\[19pt]&=f^\prime (a)\cdot \left(\frac1g\right)(a)+f(a)\cdot \left(\frac1g\right)^\prime(a)\\[19pt] &=\frac{f^\prime (a)}{g(a)}-f(a)\cdot\frac{g^\prime (a)}{(g(a))^2}\\[19pt] &=\frac{f^\prime (a)\cdot g(a)-f(a)\cdot g^\prime(a)}{(g(a))^2} \end{align*}değerine eşit olur.