Zincir Kuralı (İspat)

Question

$f$ fonksiyonu $a$ ve $g$ fonksiyonu $f(a)$ noktasında türevlenebilir ise $g\circ f$ fonksiyonu $a$ noktasında türevlenebilir ve bu noktadaki türevi $$f^\prime(a)\cdot g^\prime (f(a))$$ değerine eşit olur.

Answer 1

Bu cevap altında akla gelebilecek temel bir ispat yönteminin şartlar güzel(!) olduğunda nasıl çalıştığını ve bu güzel şart sağlanmadığında neden bu yöntemin çalışmayacağını açıklayacağız.

Hesaplamamız gereken limit:
$a$ noktasında $$\frac{g(f(x))-g(f(a))}{x-a}$$ fonksiyonunun limitini bulmamız gereklidir.

Bileşke fikrini kullanma:
Limit noktasında tanımlı olamayan fonksiyonlar içerisinde (limit değerini o noktadaki değeri olarak düşünürsek o noktada sürekli olur) limit alarak bir sonuca ulaşabiliriz. Bu fikri kullanabilmek için limitini bulmak istediğimiz ifadeyi, ortak tanım kümesi üzerinde, \begin{align*}\frac{g(f(x))-g(f(a))}{x-a} \ &= \ \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot \frac{g(f(x))-g(f(a))}{f(x)-f(a)}\\[20pt] &= \ \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot \left(\frac{g(x)-g(f(a))}{x-f(a)}\circ f(x)\right)\end{align*} olarak yazalım.

Kaybedebileceğimiz noktalar:
Verdiğimiz eşitlikteki ilk ifade $a$ noktası civarında tanımlı iken diğer ifadeler $a$ civarında $f(x)=f(a)$ şartını sağlayan noktalarda tanımsızdır.

Nokta kaybetmediğimizde verebileceğimiz ispat:
Diyelim ki $f$ fonksiyonu $a$ noktasının bir civarında $f(x)=f(a)$ şartını sağlayan bir nokta içermesin.  Bu şart sağlanırsa bu civar üzerinde \begin{align*}\frac{g(f(x))-g(f(a))}{x-a} \ = \ \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot \left(\frac{g(x)-g(f(a))}{x-f(a)}\circ f(x)\right)\end{align*} eşitliğini sağlanır. Limit çarpımı ve sürekli(!) fonksiyonların içine limit atabilme özelliği ile  $$(g\circ f)(a)=f^\prime(a)\cdot g^\prime (f(a))$$ eşitliği sağlanır.

Ciddi bir nokta kaybında yaşayabileceğimiz sorun:
Diyelim ki $f$ fonksiyonun $a$ noktasının her civarında $f(x)=f(a)$ şartını sağlayan bir nokta var. Bu durumda bu noktalar da limitsel olarak $a$ değerine yaklaşır. Bu noktaların oluşturduğu limit değeri (var da olabilir yok da) bu noktaları yok saydığımız zaman elde ettiğimiz limit değerinden farklı olabilir. Bu durumda $f\circ g$ fonksiyonunun türevi yokken türevi var olduğu çıkarımını yapmış oluruz. Bu çıkarım doğru olsa bile biz henüz bu doğruluğu göstermedik.

Nokta kaybının getirdirdiği bilği kaybını gidermeyi denemezsek elimizdeki sava ek bir şart koymamız yeterli olur: "$f$ fonksiyonu $a$ noktasının bir civarında $f(x)=f(a)$ şartını sağlayan bir nokta içermesin." Gösterdiğimiz tam olarak bu! 

Ek olarak bu durum kullandığımız sabit fonksiyonlar dışında kalan temel fonksiyon için sağlanıyor.

Answer 2

Bu cevap altında ek bir şart koymadan zincir kuralını nasıl ispatlayabileceğimizi göstereceğiz. Paydayı sıfır yapan değerler problem oluşturabildiğinden temel ispat fikrini bu probleme yol açmayacak şekilde düzenleyeceğiz.

Türevleri makul kıldırdığımız sıfırın bir $I$ civarında $y$ fonksiyonunu kuralı $$y(t)=\begin{cases} \dfrac{g(f(a)+t)-g(f(a))}{t}, & \;\;\; \text{ $t \ne 0$ ise, } \\ &\phantom{a} \\ g^\prime(f(a)), &\;\;\;\text{ $t=0$ ise } \end{cases}$$ olacak şekilde tanımlayalım.

(1) $y$ fonksiyonu $f(a)$ noktasında türevlenebilir olduğundan, türevin limit tanımı gereği, $$\lim\limits_{t\to 0}y(t)=\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{g(f(a)+t)-g(f(a))}{t}=g^\prime(f(a))=y(0)$$ eşitliği sağlanır ve dolayısıyla $y$ fonksiyonu $0$ noktasında sürekli olur.

(2) Her $t\in I$ için $$g(f(a)+t)-g(f(a))=t\cdot y(t)$$ eşitliği sağlanır. Özel olarak, sıfırın civarındaki $h$ değerleri için, $f(a+h)-f(a)\in I$ değerlerine bakarsak, $f$ fonksiyonun $a$ noktasındaki sürekliliği gereği $a$ civarında bu şartı sağlayan sıfır civarı bir $J$ aralığı bulabiliriz, $$g(f(a+h))-g(f(a))=(f(a+h)-f(a))\cdot y(f(a+h)-f(a))$$ eşitliği sağlanır.

(3) Türevin limit tanımı ve bir üstteki bilgi gereği \begin{align*}(g\circ f)^\prime(a)\ &= \ \lim\limits_{h \to 0}\frac{g(f(a+h))-g(f(a))}{h}\\[20pt] &=\  \lim\limits_{h \to 0}\left(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\cdot y(f(a+h)-f(a))\right)\end{align*} eşitliği sağlanır. Çarpımdaki ilk ifadenin limiti, $f$ fonksiyonu $a$ noktasında türevlenebilir olduğundan, $f^\prime(a)$ değerine eşit olur. Çarpımdaki ikinci ifadede, $f$ fonksiyonu sürekli olduğundan, $f(a+h)-f(a)$ limiti $0$ ve $y$ fonksiyonu sürekli olduğundan $y(f(a+h)-f(a))$ limiti $y(0)$ yani $g^\prime (f(a))$ değerine eşit olur. Bu bilgileri kullanırsak $$(g\circ f)^\prime(a)=f^\prime(a)\cdot g^\prime (f(a))$$ eşitliğini elde ederiz.