0 oy
Türev kategorisinde tarafından
Bir kenar uzunluğu 18 cm olan kare bir karton köşelerinden eş kareler kesilerek üzeri açık bir kutuya dönüştürülüyor. Bu yolla oluşturulan bir kutunun iç hacmi en çok kaç $\text{cm}^3$ olur?

1 cevap

0 oy
tarafından

Soruyu tek değişkenli fonksiyona çevirme:
Kestiğimiz eş karelerin bir kenar uzunluğunu $x$ cm olarak alırsak ayrıtları $$x, \ \ \ 18-2x, \ \ \ 18-2x$$ olan bir dikdörtgenler prizması elde ederiz.

Bu prizmanın hacmi \begin{align*}&x\cdot (18-2x)\cdot (18-2x)\\[10pt] &\ = \ x\cdot \left(18^2-2\cdot 18\cdot 2x+(2x)^2\right)\\[10pt] &\ = \ 324x-72x^2+4x^3\text{ cm}^3\end{align*} olur.

Ayrıt uzunlukları pozitif gerçel sayılar olduğundan $x$ ve $18-2x$ sayıları pozitif olmalıdır; yani $$0<x<9$$ eşitsizliği sağlanmalıdır.

Bu bilgilerle sorumuz \[f \ \colon \ \left\{\begin{array}{r c l} (0,9) &\rightarrow& \mathbb R_+ \\[10pt]x &\mapsto& 324x-72x^2+4x^3\end{array}\right.\] fonksiyonunun en büyük değerini bulmak oluyor.

Bulduğumuz fonksiyon ile ilgilenme:
Fonksiyonun türevini alırsak her $x\in(0,9)$ değeri için $$f(x)=324-144x+12x^2 = 12 \cdot (27-12x+x^2) = 12 \cdot (x-3)\cdot (x-9)$$ olur ve bu ifade, aralık içerisinde, sadece $x=3$ için sıfıra eşit olur.

Bu bilgiler gereği $f$ fonksiyonunun en büyük değeri $$f(3)=3\cdot (18-2\cdot 3)\cdot (18-2\cdot 3)=432$$ olarak alır ve istenen şartlardaki bir kutunun en büyük iç hacmi $$432\text{ cm}^3$$ olur.

...