Eksenleri kestiği noktalar:
y eksenini kestiği nokta:
$x=0$ olduğunda $$y\ = \ 0\cdot e^{-3\cdot 0^2/2} \ = \ 0$$ eşitliği sağlanır.
x eksenini kestiği noktalar:
$\exp$ fonksiyonu pozitif değerler aldığından $x\cdot e^{-3x^2/2}$ ifadesi $$x=0$$ olduğunda sıfır değerini alır.
Simetri:
Her $x\in \mathbb R$ değeri için \begin{align*}f(-x) \ & = \ (-x)\cdot e^{-3(-x)^2/2}\\[10pt]&=\ -x\cdot e^{-3x^2/2}\\[10pt]&=\ -f(x)\end{align*} eşitliği sağlandığından $f$ tek bir fonksiyon olur. Dolayısıyla $f$ fonksiyonunun grafiği orijine göre simetriktir.
Sonsuzda limit:
$f$ fonksiyonu tek fonksiyon olduğundan $\infty$ için limit almamız yeterli olur. Bu limit değeri \begin{align*}\lim\limits_{x\to \infty}xe^{-3x^2/2}\ &= \ \ \lim\limits_{x\to \infty}\frac{x}{e^{3x^2/2}}\\[15pt] &\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac\infty\infty\right]} \ \lim\limits_{x\to \infty}\frac{1}{3x\cdot e^{3x^2/2}} \\[15pt] &= \ \ 0\end{align*} olur.
Birinci türev:
$f$ fonksiyonunun birinci türevin kuralı gerçel sayılar üzerinde \begin{align*}f^\prime(x) \ & = \ 1\cdot e^{-3x^2/2}+x\cdot (-3x)e^{-3x^2/2}\\[10pt]&=\ e^{-3x^2/2}\cdot (1-3x^2)\\[10pt]\end{align*} olur.
Birinci türevin sıfır olduğu noktalar:
$\exp$ fonksiyonu pozitif değerler aldığından $e^{-3x^2/2}\cdot (1-3x^2)$ ifadesi $1-3x^2=0$ olduğunda sıfır değerini alır; yani birinci türevi sıfır yapan değerler $$x=\pm\frac1{\sqrt3}$$ değerleri olur. (Tek fonksiyon olması gereği negatif değere ihtiyacımız yok.)
İkinci türev:
$f$ fonksiyonunun ikinci türevin kuralı gerçel sayılar üzerinde \begin{align*}f^{\prime\prime}(x) \ & = \ (-3x)e^{-3x^2/2}\cdot (1-3x^2)+ e^{-3x^2/2}\cdot (-6x)\\[10pt]&=\ -3x\cdot e^{-3x^2/2}\cdot \left((1-3x^2)+2\right)\\[10pt]&=\ -9x\cdot e^{-3x^2/2}\cdot\left(1-x^2\right)\end{align*} olur.
İkinci türevin sıfır olduğu noktalar:
$\exp$ fonksiyonu pozitif değerler aldığından $-9x\cdot e^{-3x^2/2}\cdot\left(1-x^2\right)$ ifadesi$$x=0\ \ \ \text{ ya da } \ \ \ 1-x^2=0$$ olduğunda sıfır değerini alır; yani ikinci türevi sıfır yapan değerler $$x=0\ \ \ \text { ya da } \ \ \ x=\pm1$$ değerleri olur. (Tek fonksiyon olması gereği negatif değere ihtiyacımız yok.)
Birinci ve ikinci türev ile gelen tabloyu oluşturma:
$f$ fonksiyonu tek fonksiyon olduğundan negatif kısımla ilgilenmemize gerek yoktur. Bu nedenle tablomuza (tanım kümesimde olmalarına rağmen) negatif değerleri koymayacağız.
Fonksiyonun grafiği:
