Eksenleri kestiği noktalar:
y eksenini kestiği nokta:
$x=0$ olduğunda $$y\ = \ \frac{0^2}{0^2+1} \ = \ 0$$ eşitliği sağlanır.
x eksenini kestiği noktalar:
$x^2+1$ fonksiyonu sıfır olmayan değerler aldığından $\frac{x^2}{x^2+1}$ ifadesi $x^2=0$ yani $x=0$ olduğunda sıfır değerini alır.
Simetri:
Her $x\in \mathbb R$ değeri için \begin{align*}f(-x) \ & = \ \frac{(-x)^2}{(-x)^2+1}\\[10pt]&=\ \frac{x^2}{x^2+1}\\[10pt]&=\ f(x)\end{align*} eşitliği sağlandığından $f$ çift bir fonksiyon olur. Dolayısıyla $f$ fonksiyonunun grafiği $y$ eksenine göre simetriktir.
Sonsuzda limit:
$f$ fonksiyonu çift fonksiyon olduğundan $\infty$ için limit almamız yeterli olur. Bu limit değeri \begin{align*}\lim\limits_{x\to \infty}\frac{x^2}{x^2+1}\ &= \ \lim\limits_{x\to \infty}\frac{x^2}{x^2\cdot (1+x^{-2})}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{x\to \infty}\frac{1}{1+x^{-2}} \\[15pt] &= \ \frac1{1+0}\\[15pt] &= \ 1\end{align*} olur.
Birinci türev:
$f$ fonksiyonunun birinci türevin kuralı gerçel sayılar üzerinde \begin{align*}f^\prime(x) \ & =\frac{2x\cdot (x^2+1)-x^2\cdot 2x}{(x^2+1)^2} \\[10pt]&= \ \frac{2x}{(x^2+1)^2}\end{align*} olur.
Birinci türevin sıfır olduğu noktalar:
$(x^2+1)^2$ fonksiyonu sıfır olmayan değerler aldığından birinci türev $2x=0$; yani $$x=0$$ olduğunda sıfır değerini alır.
İkinci türev:
$f$ fonksiyonunun ikinci türevin kuralı gerçel sayılar üzerinde \begin{align*}f^{\prime\prime}(x) \ & =\frac{2\cdot (x^2+1)^2-2x\cdot \left(2x\cdot 2(x^2+1)\right)}{(x^2+1)^4} \\[10pt]&= \ \frac{2(x^2+1)-8x^2}{(x^2+1)^3}\\[10pt]&= \ \frac{2\cdot (1-3x^2)}{(x^2+1)^3}\end{align*} olur.
İkinci türevin sıfır olduğu noktalar:
$(x^2+1)^2$ fonksiyonusıfır olmayan değerler aldığından ikinci türev $1-3x^2=0$ olduğunda; yani $$x=\pm \frac1{\sqrt3}$$ olduğunda sıfır değerini alır. (Çift fonksiyon olması gereği negatif değere ihtiyacımız yok.)
Birinci ve ikinci türev ile gelen tabloyu oluşturma:
$f$ fonksiyonu çift fonksiyon olduğundan negatif kısımla ilgilenmemize gerek yoktur. Bu nedenle tablomuza (tanım kümesimde olmalarına rağmen) negatif değerleri koymayacağız.
Fonksiyonun grafiği:
