$\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{(x+3h)^2-x^2}{2h}$ limiti

Question

$x$ bir gerçel sayı olmak üzere $$\lim\limits_{h\to 0} \frac{(x+3h)^2-x^2}{2h}$$ limitini $x$ cinsinden bulunuz.

Answer 1

$0/0$ tipi belirsizliğimiz var. İki kare farkı ile payı $3h\cdot(2x+3h)$ olarak yazalım ve $h$ sadeleştirmesi yaparak sonuca ulaşalım. Bu yol ile \begin{align*}\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{(x+3h)^2-x^2}{2h}\ &= \ \lim\limits_{h\to 0} \dfrac{((x+3h)-x)\cdot ((x+3h)-x)}{2h}\\[15pt]&= \ \lim\limits_{h\to 0} \dfrac{3h\cdot(2x+3h)}{2h}\\[15pt]&= \ \lim\limits_{h\to 0} \dfrac{3\cdot(2x+3h)}{2}\\[15pt]&= \ \dfrac{3\cdot(2x+3\cdot 0)}{2} \\[15pt]&= \ 3x\end{align*}eşitliğini elde ederiz.

Answer 2

Türevin limit tanımını kullanarak verebileceğimiz bir cevap:

$f:\begin{cases}\mathbb R\to\mathbb R\\ x \mapsto x^2 \end{cases}$ fonksiyonunun türevinin kuralı $f(x)=2x$ olduğundan $t=3h$ değişimi ile $$2x=\lim\limits_{t\to 0} \frac{(x+t)^2-x^2}{t}=\lim\limits_{h\to 0} \frac{(x+3h)^2-x^2}{3h}$$ eşitliğini elde ederiz. Bu eşitliği kullanırsak $$\lim\limits_{h\to 0} \frac{(x+3h)^2-x^2}{2h}=\lim\limits_{h\to 0}\left[ \frac32\cdot \frac{(x+3h)^2-x^2}{3h}\right]=\frac32\cdot 2x=3x$$ eşitliğini elde ederiz.