Darboux/Riemann İntegrali - Giriş Bölümü

Question

Parçalanış Tanımı:
$b>a$ gerçel sayılar olsun. $n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere $a_0=a$ ve $a_n=b$ olacak şekilde artan bir $a_0,\ldots,a_n$ sonlu dizisini alalım ve her $1\le i \le n$ tam sayısı için $I_i=[a_{i-1},a_i]$ tanımını yapalım.

$a_0,\ldots,a_n$ sonlu dizisini $[a,b]$ aralığının bir parçalanışı olarak tanımlayacağız ve bu parçalanışı (kullanışlığına göre) $\{a_0,\ldots,a_n\}$ kümesi ya da $\{I_1,\ldots,I_n\}$ kümesi ile temsil edeceğiz.

Bir Parçalanış Üzerindeki Alt ve Üst Toplam Tanımı:
$[a,b]$ aralığının $\{I_1,\ldots,I_n\}$ parçalanışına denk gelen alt ve üst toplamlarını, sırası ile, $$L(f;P)=\sum\limits_{k=1}^{n}\inf_{I_k}f\cdot |I_k| \ \ \ \text{ ve } \ \ \ \sum\limits_{k=1}^n \sup_{I_k}f\cdot |I_k|=U(f;P)$$ olarak tanımlayacağız. Burada her $1\le i \le n$ tam sayısı için $|I_i|=a_i-a_{i-1}$ olarak tanımlanır.

Aynı Parçalanışın Alt-Üst Toplam Eşitsizliği:
$b>a$ gerçel sayıları için $f:[a,b] \to \mathbb R$ bir sınırlı fonksiyon olsun. $P$ kümesi $[a,b]$ aralığının bir parçalanışı olsun. Bu durumda $$L(f;P) \le  U(f;P)$$ eşitsizliği sağlanır.

Parçalanışlarda İnceltme Tanımı:
$n$ ve $m$ pozitif tam sayılar olmak üzere $P=\{a_0,\ldots,a_n\}$ ve $Q=\{b_0,\ldots,b_m\}$ kümesi $[a,b]$ aralığının parçalanışları olsun. $Q$ kümesi $P$ kümesini içeriyorsa $Q$ parçalanışına $P$ parçalanışının bir inceltmesi diyeceğiz.

İnceltme Eşitsizlikleri:
$b>a$ gerçel sayıları için $f:[a,b] \to \mathbb R$ bir sınırlı fonksiyon olsun. $P$ kümesi $[a,b]$ aralığının bir parçalanışı, $Q$ kümesi de $P$ parçalanışının bir inceltmesi olsun. Bu durumda $$U(f;Q) \le U(f;P) \;\;\;\; \text{ ve } \;\;\;\; L(f;P) \le L(f;Q)$$ eşitsizlikleri sağlanır.

Farklı Parçalanışların Alt-Üst Toplam Eşitsizliği:
$b>a$ gerçel sayıları için $f:[a,b] \to \mathbb R$ bir sınırlı fonksiyon olsun. $P$ ve $Q$ kümeleri $[a,b]$ aralığının bir parçalanışı olsun. Bu durumda $$L(f;P) \le  U(f;Q)$$ eşitsizliği sağlanır.

Alt-Üst Toplam Tanımları:
$b>a$ gerçel sayıları için $f:[a,b] \to \mathbb R$ bir sınırlı fonksiyon olsun. $\mathcal P$ kümesi $[a,b]$ aralığının tüm parçalanışlarını içeren küme ve $$\mathcal L=\{L(f;P) \; | \; P \in \mathcal P\} \;\;\; \text{ ve } \;\;\; \mathcal U=\{U(f;P) \; |\; P \in \mathcal P\}$$ olsun. 

$f$ fonksiyonunun alt toplamını boş olmayan ve alttan $\inf f\cdot (b-a)$ ile sınırlı olan $\mathcal L$ kümesinin var olan supremumu olarak tanımlayacağız ve bu değeri $L(f)$ ile göstereceğiz.

$f$ fonksiyonunun üst toplamını boş olmayan ve alttan $\sup f\cdot (b-a)$ ile sınırlı olan $\mathcal U$ kümesinin var olan infimumu olarak tanımlayacağız ve bu değeri $U(f)$ ile göstereceğiz.

Alt-Üst Toplam Eşitsizliği:
$b>a$ gerçel sayıları için $f:[a,b] \to \mathbb R$ bir sınırlı fonksiyon olsun. Bu durumda $$L(f) \le  U(f)$$ eşitsizliği sağlanır.

İntegrallenebilme ve İntegral Değeri Tanımları:
$b>a$ gerçel sayıları için $f:[a,b] \to \mathbb R$ bir sınırlı fonksiyon olsun. $L(f)=U(f)$ eşitliği sağlandığında $f$ fonksiyonu Darboux integrallenebilir diyeceğiz ve integral değerini bu eşit değer olarak kabul edeceğiz ve bu değeri $$\int_a^bf(x)\ dx$$ ile temsil edeceğiz.

Answer 1

Aynı Parçalanışın Alt-Üst Toplam Eşitsizliği:
 

Parçalanışı temsil etme:
$n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere $P$ parçalanışını, aralıkların kümesi olarak, $$P=\{I_1,\cdots,I_n\}$$ biçiminde yazalım. 

Supremum-İnfimum ilişkisi:
Her $1\le k \le n$ tam sayısı için $$\inf_{I_k}f \le \sup_{I_k}f$$ eşitsizliği sağlanır.

Sonuca ulaşma:
$P$ parçalanışı üzerinde alt ve üst toplam tanımı ile birlikte supremum-infimum ilişkisini kullanırsak $$L(f;P)=\sum\limits_{k=1}^{n}\inf_{I_k}f\cdot |I_k|\le \sum\limits_{k=1}^n \sup_{I_k}f\cdot |I_k|=U(f;P)$$ eşitsizliğini elde ederiz.

Answer 2

İnceltme Eşitsizlikleri:

Parçalanış aralıklarını ilişkilendirme:
$n$ ve $m$ pozitif tam sayılar olmak üzere $P$ ve $Q$ parçalanışlarını, uç noktaları artan olacak şekilde, $$P=\{I_1,\cdots,I_n\} \ \ \  \text{ ve } \ \ \  Q=\{J_1,\cdots,J_m\}$$ olarak yazalım. $Q$ parçalınışı $P$ parçalanışının bir inceltmesi olduğundan her $1 \le k \le n$ tam sayısı için $c_0=0$ ve $c_n=m$ olacak şekilde öyle bir artan $\{c_k\}$ tam sayı dizisi bulabiliriz ki  $$I_k=\bigcup_{\ell=c_{k-1}+1}^{c_{k}}J_\ell$$ eşitliği sağlanır.

Parçalanışlardaki supremum ve infimum eşitsizlikleri:
(Gösterim kolaylığı olması açısından) $1 \le k \le n$ ve $1 \le \ell \le m$ tam sayıları için  $$M_k=\sup_{I_k}f, \;\;\; m_k=\inf_{I_k}f\;\;\;\; \text{ ve } \;\;\;\; N_\ell=\sup_{J_\ell}f, \;\;\; n_\ell=\inf_{J_\ell}f$$ tanımlaması yapalım. 

$c_{k-1}< \ell \le c_k$ eşitsizliği sağlandığında $J_\ell \subseteq I_k$ sağlanır. Dolayısıyla $$N_\ell \le M_k \;\;\; \text{ ve } \;\;\; m_k \le n_\ell$$ eşitsizliklerini elde ederiz.

Üst toplam eşitsizliğini gösterme:
Tanımları, yukarıdaki eşitlik ve eşitsizlikleri kullanırsak\begin{align*}U(f;Q)&=\sum\limits_{\ell=1}^{m}N_\ell|J_\ell|\\[11pt]&=\sum\limits_{k=1}^{n}\sum\limits_{\ell=c_{k-1}+1}^{c_k}N_\ell|J_\ell|\\[11pt]&\le\sum\limits_{k=1}^{n}\sum\limits_{\ell=c_{k-1}+1}^{c_k}M_k|J_\ell|\\[11pt]&=\sum\limits_{k=1}^{n}M_k\sum\limits_{\ell=c_{k-1}+1}^{c_k}|J_\ell|\\[11pt]&=\sum\limits_{k=1}^{n}M_k|I_k|\\[11pt]&=U(f;P)\end{align*} eşitsizliği sağlanır.

Alt toplam eşitsizliğini gösterme:
Tanımları, yukarıdaki eşitlik ve eşitsizlikleri kullanırsak\begin{align*}L(f;Q)&=\sum\limits_{\ell=1}^{m}n_\ell|J_\ell|\\[11pt]&=\sum\limits_{k=1}^{n}\sum\limits_{\ell=c_{k-1}+1}^{c_k}n_\ell|J_\ell|\\[11pt]&\ge\sum\limits_{k=1}^{n}\sum\limits_{\ell=c_{k-1}+1}^{c_k}m_k|J_\ell|\\[11pt]&=\sum\limits_{k=1}^{n}m_k\sum\limits_{\ell=c_{k-1}+1}^{c_k}|J_\ell|\\[11pt]&=\sum\limits_{k=1}^{n}m_k|I_k|\\[11pt]&=L(f;P)\end{align*} eşitsizliği sağlanır.

Answer 3

Farklı Parçalanışların Alt-Üst Toplam Eşitsizliği:

Ortak bir inceltmenin varlığı:
$n$ ve $m$ pozitif tam sayılar olmak üzere $P$ ve $Q$ parçalanışlarını, uç noktalar kümesi olarak, $$P=\{a_0,\ldots,a_n\} \ \ \  \text{ ve } \ \ \  Q=\{b_0,\ldots,b_m\}$$ olarak yazalım. $R$ parçalınışı $P\cup Q$ olarak tanımlarsak $R$ parçalanışı hem $P$ parçalanışının hem de $Q$ parçalanışının bir inceltmesi olur.

Ortak inceltme ile bir ilişki kurma:
İnceltme eşitsizlikleri gereği,  $$L(f;P) \le L(f;R) \;\;\; \text{ ve } \;\;\; U(f,R) \le U(f;Q)$$  eşitsizlikleri sağlanır.

Bu ilişkiyi bağlama:
Bir parçalanış üzerindeki alt toplam-üst toplam ilişkisi gereği, $$L(f;R) \le U(f;R)$$ eşitsizliği saglanır. 

Sonuç:
Yukarıdaki üç eşitsizliği birleştirirsek $$L(f;P) \le L(f;R) \ \le U(f;R) \le U(f;Q)$$ eşitsizliğini elde ederiz ve bu eşitsizliğin uç ifadeleri ile istediğimiz $$L(f;P) \le  U(f;Q)$$ eşitsizliği elde etmiş oluruz.

Answer 4

Alt-Üst Toplam Eşitsizliği:

Alt ve üst toplamlar kümesini temsil etme:
$\mathcal P$ kümesi $[a,b]$ aralığının tüm parçalanışlarını içeren küme olsun. $\mathcal L$ ve $ \mathcal U$ kümelerini $$\mathcal L=\{L(f,P) \; | \; P \in \mathcal P\} \;\;\; \text{ ve } \;\;\; \mathcal U=\{U(f,P) \; |\; P \in \mathcal P\}$$ olarak tanımlayalım.

Anahtar araç:
Herhangi $P$ ve $Q$ parçalanışları için, farklı parçalanışların alt üst toplam eşitsizliği ile, $$L(f;P) \le U(f;Q)$$ eşitsizliği sağlanır.

Savın İspatı:
(a) Bir $Q$ parçalanışı alalım. Her $P$ parçalanışı için $L(f;P) \le U(f;Q)$ eşitsizliği sağlandığından $U(f;Q)$ değeri $\mathcal L$ kümesinin bir üst sınırı olur. $L(f)$ değeri $\mathcal L$ kümesinin en küçük üst sınırı olduğundan $$L(f)\le U(f;Q)$$ eşitsizliği sağlanır.

(b) Her $Q$ parçalanışı için $L(f)\le U(f;Q)$ eşitsizliği sağlandığından $L(f)$ değeri $\mathcal U$ kümesinin bir alt sınırı olur. $U(f)$ değeri $\mathcal U$ kümesinin en büyük alt sınırı olduğundan $$L(f) \le U(f)$$ eşitsizliği sağlanır.