Kısıtlama ve sınırlı olma:
$f$ fonksiyonu sınırlı olduğundan $[a,c]$ ve $[c,b]$ aralıkları üzerinde de sınırlı olur. Bu nedenle bu aralıklar üzerinde Darboux integralinin varlığını inceleyebiliriz.
_______________________
Bir yön için kabul:
$f$ fonksiyonunun Darboux integrallenebilir olduğunu kabul edelim.
Kısıtlamalara ve Cauchy kıstasına uygun bir parçalanış seçme:
Cauchy integrallenebilme kıstası gereği verilen $\epsilon >0$ için $$0\le U(f;P^\prime)-L(f;P^\prime)<\epsilon $$ şartını sağlayan $[a,b]$ kapalı aralığının bir $P^\prime$ parçalanışı vardır. $P^\prime$ parçalanışının kümesel olarak $c$ değerini içeren bir $P$ inceltmesini alalım.
Kısıtlamarın parçalanışlarını elde etme:
$P$ parçalanışını aralıklar kümesi olarak düşünürsek $$Q=\{I_k \in P \: | \: I_k \subseteq [a,c]\} \ \ \ \text{ ve }\ \ \ R=\{I_k \in P \: | \: I_k \subseteq [c,b]\}$$ aralık kümeleri, sırası ile, $[a,c]$ ve $[c,b]$ kapalı aralıklarının bir parçalanışı olur.
Alt-üst toplamları ilişkilendirme:
Bu parçalanışlara gelen alt-üst toplamları incelersek\begin{align*} L(f;P)&=\sum_{I_k\in P} \inf_{I_k}f \cdot |I_k|\\[10pt]&=\sum_{I_k\in Q} \inf_{I_k}f \cdot |I_k|+\sum_{I_k\in R} \inf_{I_k}f \cdot |I_k|\\[10pt]&=L(f;Q)+L(f;R)\end{align*} ve \begin{align*}U(f;P)&=\sum_{I_k\in P} \sup_{I_k}f \cdot |I_k|\\[10pt]&=\sum_{I_k\in Q} \sup_{I_k}f \cdot |I_k|+\sum_{I_k\in R} \sup_{I_k}f \cdot |I_k|\\[10pt]&=U(f;Q)+U(f;R)\end{align*} eşitliklerini elde ederiz.
$[a,c]$ üzerinde integrallenebilme:
Üst eşitlikleri kullanırsak \begin{align*}U(f;Q)-L(f;Q)&= (U(f;P)-U(f;R))-(L(f;P)-L(f;R))\\[10pt]&=U(f;P)-L(f;P)-(U(f;R)-L(f;R) ) \\[10pt]&\le U(f;P)-L(f;P)\\[10pt]&<\epsilon\end{align*} eşitsizliğini elde ederiz. Verilen $\epsilon>0$ için $[a,c]$ aralığının $$U(f;Q)-L(f;Q)<\epsilon$$ eşitsizliğini sağlayan bir $Q$ parçalanışını var olduğundan, Cauchy integrallenebilme kıstası gereği, $f$ fonksiyonunun $[a,c]$ aralığı üzerinde Darboux integrallenebilir.
$[c,b]$ üzerinde integrallenebilme:
Üst eşitlikleri kullanırsak \begin{align*}U(f;R)-L(f;R)&= (U(f;P)-U(f;Q))-(L(f;P)-L(f;Q))\\[10pt]&=U(f;P)-L(f;P)-(U(f;Q)-L(f;QR) ) \\[10pt]&\le U(f;P)-L(f;P)\\[10pt]&<\epsilon\end{align*} eşitsizliğini elde ederiz. Verilen $\epsilon>0$ için $[c,b]$ aralığının $$U(f;R)-L(f;R)<\epsilon$$ eşitsizliğini sağlayan bir $R$ parçalanışını var olduğundan, Cauchy integrallenebilme kıstası gereği, $f$ fonksiyonunun $[c,b]$ aralığı üzerinde Darboux integrallenebilir.
___________________________________
Diğer yön için kabul:
$f$ fonksiyonunun $[a,c]$ ve $[c,b]$ kapalı aralıkları üzerinde Darboux integrallenebilir olduğunu kabul edelim.
Kısıtlamalardan Cauchy kıstasına uygun bir parçalanış seçme:
Cauchy integrallenebilme kıstası gereği verilen $\epsilon >0$ için $$U(f;Q)-L(f;Q)<\epsilon/2\ \ \ \text{ ve }\ \ \ U(f;R)-L(f;R)<\epsilon/2 $$ şartını sağlayan, sırasıyla, $[a,c]$ kapalı aralığının bir $Q$ ve $[c,b]$ kapalı aralığının bir $R$ parçalanışı vardır. Bu parçalanışlar ile $[a,b]$ aralığının $P$ parçalanışı, noktalar kümesi olarak, $Q\cup R$ olarak alalım.
Alt-üst toplamları ilişkilendirme:
Bu parçalanışlara gelen alt-üst toplamları incelersek\begin{align*}L(f;P)&=\sum_{I_k\in P} \inf_{I_k}f \cdot |I_k|\\[10pt]&=\sum_{I_k\in Q} \inf_{I_k}f \cdot |I_k|+\sum_{I_k\in R} \inf_{I_k}f \cdot |I_k|\\[10pt]&=L(f;Q)+L(f;R)\end{align*} ve \begin{align*}U(f;P)&=\sum_{I_k\in P} \sup_{I_k}f \cdot |I_k|\\[10pt]&=\sum_{I_k\in Q} \sup_{I_k}f \cdot |I_k|+\sum_{I_k\in R} \sup_{I_k}f \cdot |I_k|\\[10pt]&=U(f;Q)+U(f;R)\end{align*} eşitliklerini elde ederiz.
$[a,b]$ üzerinde integrallenebilme:
Üst eşitlikleri kullanırsak \begin{align*}U(f;P)-L(f;P)&= (U(f;Q)+U(f;R))-(L(f;R)+L(f;R))\\[10pt]&=(U(f;Q)-L(f;Q))+(U(f;R)-L(f;R)) \\[10pt]&<\epsilon/2+\epsilon/2\\[10pt]&=\epsilon\end{align*} eşitsizliğini elde edebiliriz. Verilen $\epsilon>0$ için $[a,b]$ aralığının $$U(f;Q)-L(f;Q)<\epsilon$$ eşitsizliğini sağlayan bir $P$ parçalanışını var olduğundan, Cauchy integrallenebilme kıstası gereği, $f$ fonksiyonunun $[a,b]$ aralığı üzerinde Darboux integrallenebilir.
____________________________________________
Ayrıca...:
Yukarıda tanımladığımız $P$, $Q$ ve $R$ parçalanışları ile
\begin{align*}\int_a^bf(x)dx &=U(f)\\[10pt]&\le U(f;P)\\[10pt]& =U(f;Q)+U(f;R) \\[10pt]&<L(f;Q)+L(f;R)+\epsilon \\[10pt]&\le \int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx+\epsilon\end{align*} eşitsizliğini elde ederiz. Bu eşitsizliğin uç ifadeleri verilen her $\epsilon>0$ için sağlandığından \begin{equation}\label{eq:buyuk}\int_a^bf(x)dx\le \int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx\end{equation} eşitsizliğini elde ederiz. Benzer şekilde \begin{align*}\int_a^bf(x)dx &=L(f)\\[10pt]&\ge L(f;P)\\[10pt]& =L(f;Q)+L(f;R) \\[10pt]&>U(f;Q)+U(f;R)-\epsilon \\[10pt]&\ge \int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx-\epsilon\end{align*} eşitsizliğini elde ederiz. Bu eşitsizliğin uç ifadeleri verilen her $\epsilon>0$ için sağlandığından $$\int_a^bf(x)dx\ge \int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx$$ eşitsizliğini elde ederiz ve Eşitsizlik \eqref{eq:buyuk} ile $$\int_a^bf(x)dx= \int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx$$ eşitliğini elde ederiz.