Çarpımın ve bölümün integrallenebilmesi (ispat)

Question

Bu başlık altında sırası ile ilişkili dört sav ispatlayacağız. İkinci savı birinci savın bir çıkarımı ve dördüncü savı ikinci ve üçüncü savın bir çıkarımı olarak vereceğiz. Temel olarak iki sav ispatlamış olacağız. Bu ispatları iki cevap altında vereceğiz.

(1) $b>a$ gerçel sayıları için $f:[a,b] \to \mathbb R$ bir sınırlı fonksiyon olsun. $f$ fonksiyonu Darboux integrallenebilir ise $f^2$ fonksiyonu Darboux integrallenebilir.

(2) $b>a$ gerçel sayıları için $f,g:[a,b] \to \mathbb R$ sınırlı fonksiyonlar olsun. $f$ ve $g$ fonksiyonu Darboux integrallenebilir ise $f\cdot g$ fonksiyonu Darboux integrallenebilir.
_____________________
(3) $b>a$ gerçel sayıları için $g:[a,b] \to \mathbb R$ bir sınırlı fonksiyon olsun. Ayrıca $g$ fonksiyonu sıfır değeri almasın ve $1/g$ fonksiyonu sunırlı olsun.  $g$ fonksiyonu Darboux integrallenebilir ise $1/g$ fonksiyonu Darboux integrallenebilir.

(4) $b>a$ gerçel sayıları için $f,g:[a,b] \to \mathbb R$ sınırlı fonksiyonlar olsun. Ayrıca $g$ fonksiyonu sıfır değeri almasın ve $1/g$ fonksiyonu sunırlı olsun. $f$ ve $g$ fonksiyonu Darboux integrallenebilir ise $f/g$ fonksiyonu Darboux integrallenebilir.

Answer 1

Sınırlı olma:

$f$ fonksiyonu sınırlı olduğundan bir $M$ pozitif gerçel sayısı için $|f(x)|\le M$ eşitsizliği her $x\in[a,b]$ değerleri için sağlanır. Dolayısıyla $$|f^2(x)|\le M^2$$ eşitsizliği her $x\in[a,b]$ değerleri için sağlanır. $f^2$ fonksiyonu sınırlı olduğundan Darboux integralinin varlığını inceleyebiliriz.

Kullanışlı bir eşitsizlik:
Mutlak değerin üçgen eşitsizliği ile her $x,y \in [a,b]$ gerçel sayısı için\begin{align*}|f^2(x)-f^2(y)|  &= |f(x)+f(y)|\cdot|f(x)-f(y)|\\[10pt]&\le\left(|f(x)|+|f(y)|\right)\cdot|f(x)-f(y)|\\[10pt]&\le 2M\cdot|f(x)-f(y)|\end{align*} eşitsizliğini elde ederiz.

Bu eşitsizliği kullanılabilir hale getirme:
$2M\cdot f$ fonksiyonu $f^2$ fonksiyonuna farksal baskın olduğundan herhangi boş olmayan $S\subseteq [a,b]$ kümesi için $$\sup_Sf^2-\inf_Sf^2 \le 2M\cdot (\sup_S f -\inf_Sf)$$ eşitsizliğini elde ederiz.

$f$ fonksiyonu için Cauchy kıstası:
$f$ fonksiyonu Darboux integrallenebildiğinden verilen $\epsilon>0$ için, Cauchy integrallenebilme kıstası gereği, $n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere $[a,b]$ kapalı aralığının aralıklardan oluşan bir $P=\{I_1,\cdots,I_n\}$ parçalanışı vardır ki $$U(f;P)-L(f;P)=\sum_{k=1}^n(\sup_{I_k}f-\inf_{I_k}f)\cdot |I_k| <\frac{\epsilon}{2M}$$ eşitsizliği sağlanır.

$|f|$ fonksiyonu için Cauchy kıstası:
Elde ettiğimiz eşitsizlikleri kullanırsak  \begin{align*}U(f^2;P)-L(f^2;P)&=\sum_{k=1}^n(\sup_{I_k}f^2-\inf_{I_k}f^2)\cdot |I_k|\\[10pt]&\le 2M\cdot \sum_{k=1}^n(\sup_{I_k}f-\inf_{I_k}f)\cdot |I_k| \\[10pt]&<\epsilon\end{align*} eşitsizliği sağlanır ve Cauchy integrallenebilme kıstası gereği $f^2$ fonksiyonu Darboux integrallenebilir.

______________________________

$f$ ve $g$ fonksiyonları Darboux integrallenbilir olduğundan, integralin lineer özelliği ile, $f+g$ ve $f-g$ fonksiyonları Darboux integrallenebilir. Darboux integrallenebilir fonksiyonların kareleri de Darboux integrallenebildiğinden $(f+g)^2$ ve $(f-g)^2$ fonksiyonları da Darboux integrallenebilir. İntegralin lineer özelliği ile $$\frac14\cdot \left((f+g)^2-(f-g)^2\right)=f\cdot g$$ fonksiyonu da Darboux integrallenebilir.

Answer 2

Kullanışlı bir eşitsizlik:
$1/g$ fonksiyonu sınırlı olduğundan bir $M$ pozitif gerçel sayısı için $|(1/g)(x)|\le M$ eşitsizliği her $x\in[a,b]$ değerleri için sağlanır ve her $x,y \in [a,b]$ gerçel sayısı için\begin{align*}\left|\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{g(y)}\right| = \frac{|g(y)-g(x)|}{|g(x)|\cdot |g(y)|}\le M^2\cdot |g(x)-g(y)|\end{align*} eşitsizliğini elde ederiz.

Bu eşitsizliği kullanılabilir hale getirme:
$M^2\cdot g$ fonksiyonu $1/g$ fonksiyonuna farksal baskın olduğundan herhangi boş olmayan $S\subseteq [a,b]$ kümesi için $$\sup_S(1/g)-\inf_S(1/g) \le 2M\cdot (\sup_S g -\inf_Sg)$$  eşitsizliğini elde ederiz.

$g$ fonksiyonu için Cauchy kıstası:
$g$ fonksiyonu Darboux integrallenebildiğinden verilen $\epsilon>0$ için, Cauchy integrallenebilme kıstası gereği, $n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere $[a,b]$ kapalı aralığının aralıklardan oluşan bir $P=\{I_1,\cdots,I_n\}$ parçalanışı vardır ki $$U(g;P)-L(g;P)=\sum_{k=1}^n(\sup_{I_k}g-\inf_{I_k}g)\cdot |I_k| <\frac{\epsilon}{M^2}$$ eşitsizliği sağlanır.

$1/g$ fonksiyonu için Cauchy kıstası:
Elde ettiğimiz eşitsizlikleri kullanırsak  \begin{align*}U(1/g;P)-L(1/g;P)&=\sum_{k=1}^n(\sup_{I_k}(1/g)-\inf_{I_k}(1/g))\cdot |I_k|\\[10pt]&\le M^2\cdot \sum_{k=1}^n(\sup_{I_k}g-\inf_{I_k}g)\cdot |I_k| \\[10pt]&<\epsilon\end{align*} eşitsizliği sağlanır ve Cauchy integrallenebilme kıstası gereği $1/g$ fonksiyonu Darboux integrallenebilir.
_____________________________

$f$ fonksiyonu Darboux integrallenebilir ve çarpmaya göre ters fonksiyonun integrallenebilmesinin şartları sağlandığından $1/g$ Darboux integrallenebilir. Darboux integrallenebilen fonksiyonların çarpımları da Darboux integrallenebildiğinden $f\cdot(1/g)=f/g$ fonksiyonu Darboux integrallenebilir.