Kısmı İntegral Yöntemi (ispat)

Question

$I$ boş olmayan bir açık aralık olmak üzere $a,b\in I$ ve $b>a$ olsun. $f,g:I \to \mathbb R$ fonksiyonları türevlenebilir fonksiyonlar olsun. $f^\prime\cdot g$ ve $f\cdot g^\prime$  fonksiyonları $[a,b]$ kapalı aralığı üzerinde Darboux integrallenebilir ise $$\int_a^bf(x)\cdot g^{\prime}(x)dx=f(b)\cdot g(b)-f(a)\cdot g(a)-\int_a^bf^\prime(x)\cdot g(x)dx$$ eşitliği sağlanır.

Not: $f,g:I \to \mathbb R$ fonksiyonları türevlenebilir fonksiyonlar olduğundan sürekli fonksiyonlardır ve $[a,b]$ kapalı aralığı üzerinde Darboux integrallenebilirler. Ayrıca $f^\prime$ ve $g^\prime$  fonksiyonları $[a,b]$ kapalı aralığı üzerinde Darboux integrallenebilir ise  çarpımlar ile elde edeceğimiz $f^\prime\cdot g$ ve $f\cdot g^\prime$  fonksiyonları da $[a,b]$ kapalı aralığı üzerinde Darboux integrallenebilir. Bu bilgilerle savı türevlenebilen ve türevleri integrallenebilen fonksiyonlar özelinde de yazabiliriz.

Answer 1

İntegrallenebilir olma:
Darboux integrallenebilir fonksiyonların toplamları Darboux integrallenebilir olduğundan $$(f\cdot g)^\prime=f^\prime\cdot g+f\cdot g^\prime$$ fonksiyonu $[a,b]$ kapalı aralığı üzerinde Darboux integrallenebilir ve integral değeri \begin{equation}\label{eq:lineer}\int_a^b(f\cdot g)^\prime(x)dx=\int_a^bf^\prime(x)\cdot g(x)dx+\int_a^bf(x)\cdot g^\prime(x)dx\end{equation} eşitliğini sağlar.

Analizin Temel Teoremi I kullanma:
$f$ ve $g$ fonksiyonları türevlenebilir olduğundan $[a,b]$ kapalı aralığı üzerinde sürekli ve $(a,b)$ açık aralığı üzerinde türevlenebilir. Ayrıca, doğal olarak, $f\cdot g$ fonksiyonunun türevi  $[a,b]$ kapalı aralığı üzerinde Darboux integrallenebilen $(f\cdot g)^\prime$ olduğundan, analizin temel savı II ile, \begin{equation}\label{eq:turev}\int_a^b(f\cdot g)^\prime(x)dx=f(b)\cdot g(b)-f(a)\cdot g(a)\end{equation} eşitliği sağlanır.

Sonuç:
Bulduğumuz \eqref{eq:lineer} ve \eqref{eq:turev} eşitliklerini kulanırsak $$\int_a^bf(x)\cdot g^{\prime}(x)dx=f(b)\cdot g(b)-f(a)\cdot g(a)-\int_a^bf^\prime(x)\cdot g(x)dx$$ eşitliğini elde ederiz.