İç ifadenin integrallenebilme:
$f$ fonksiyonu $g(I)$ üzerinde sürekli ve $g$ fonksiyonu $I$ üzerinde (türevlenebilir olması ile) sürekli olduğundan $f\circ g$ fonksiyonu $I$ üzerinde, özel olarak $[a,b]$ üzerinde, sürekli olur. Sürekli fonksiyonlar Darboux integrallenebildiğinden $f\circ g$ fonksiyonu $[a,b]$ üzerinde Darboux integrallenebilir. Ayrıca $g^\prime$ fonksiyonu $[a,b]$ üzerinde Darboux integrallenebilir olduğundan çarpımları olan $(f\circ g)\cdot g^\prime$ fonksiyonu da $[a,b]$ üzerinde Darboux integrallenebilir.
Analizin temel savı I ile zincir kuralına uygun hale getirme:
$F:g(I)\to \mathbb R$ fonksiyonunu kuralı $$F(x)=\int_{g(a)}^xf(t)dt$$ olacak şekilde tanımlayalım. Analizin temel savı I gereği her $c\in g(I)$ değeri için $$F^\prime(c)=f(c)$$ eşitliği sağlanır.
İç ifadeyi zincir kuralı ile yazma:
$g$ fonksiyonu $I$ ve $F$ fonksiyonu $g(I)$ aralığı üzerinde türevlenebildiğinden zincir kuralı gereği $F\circ g$ fonksiyonu $I$ üzerinde türevlenebilir ve her $x\in I$ değeri için $$(F \circ g)^\prime(x)=F^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x)=f(g(x))\cdot g^\prime(x)$$ eşitliği sağlanır. Bu eşitlik dolayısıyla $(F\circ g)^\prime$ fonksiyonu $[a,b]$ üzerinde Darboux integrallenebilir.
Analizin temel savı II ile sonuca ulaşma:
$(F\circ g)^\prime$ fonksiyonu $[a,b]$ üzerinde Darboux integrallenebilir olduğundan, $F\circ g$ fonksiyonu $[a,b]$ üzerinde sürekli ve $(a,b)$ üzerinde türevlenebilir olduğundan ve türevi $(F\circ g)^\prime$ olduğundan, analizin temel savı I ile, $$\int_a^b f(g(x))\cdot g^\prime(x) dx = \int_a^b(F\circ g)^\prime(x)dx=F(g(b))-F(g(a))$$ eşitliği sağlanır.
Ayrıca $f$ fonksiyonu $[a,b]$ üzerinde Darboux integrallenebilir olduğundan, $F$ fonksiyonu $[a,b]$ üzerinde sürekli ve $(a,b)$ üzerinde türevlenebilir olduğundan ve türevi $f$ olduğundan, analizin temel savı I ile, $$F(g(b))-F(g(a))=\int_{g(a)}^{g(b)}f(x)dx$$ eşitliği sağlanır. Bu da ispatımızı bitirir.