$\displaystyle\int x\cdot e^x \ dx$ belirsiz integrali

Question

$f:\mathbb R\to \mathbb R$ olmak üzere kuralı $$f(x)=x\cdot e^x$$ olmak üzere $f$ fonksiyonunun ters türevlerini bulunuz. Diğer bir deyişle, $$\int x\cdot e^x \ dx$$ belirsiz integralini bulunuz.

Answer 1

Kısmi integral yönteminin fikri:
$u$ ve $v$ fonksiyonları bir $a$ noktasında türevlenebilir ise $$\left(u\cdot v\right)^\prime(a)=u(a)^\prime \cdot  v(a)+u(a)\cdot v^\prime(a)$$ eşitliği sağlanır. Eşitliği düzenlersek $$u(a)\cdot v^\prime(a)=\left(u\cdot v\right)^\prime(a)-u(a)^\prime \cdot  v(a)$$ eşitliğini elde ederiz.

Uygun fonksiyon seçimi:
Gerçel sayılar üzerinde $u(x)=x$ olsun ve $v^\prime(x)=e^x$ olacak şekilde $v(x)=e^x$ seçimi yapalım. Bu durumda $u^\prime(x)=1$ olur ve $$x\cdot e^x=\left(x\cdot e^x\right)^\prime- 1\cdot  e^x$$ eşitliğini elde ederiz.

Ters türev olarak yazma:
Ayrıca $\left(e^x\right)^\prime=e^x$ olduğundan, türevin lineer özelliği gereği,  gerçel sayılar üzerinde\begin{align*}x\cdot e^x\ &=\ \left(x\cdot e^x\right)^\prime- 1\cdot  e^x \\[10pt] &=\ \left(x\cdot e^x\right)^\prime- \left(e^x\right)^\prime\\[10pt] &=\ \left(x\cdot e^x-e^x\right)^\prime\end{align*} eşitliğini elde ederiz.

Ters türev ve belirsiz integral:
Bu eşitlik gereği $x\cdot e^x-e^x$ fonksiyonu $x\cdot e^x$ fonksiyonunun gerçel sayıar üzerinde bir ters türevi olur. Bu da bize, $c$ bir sabit olmak üzere  $$\int x\cdot e^x \ dx=x\cdot e^x-e^x+c$$ eşitliğini verir.

Answer 2

Kısmı integrasyon:
Gerçel sayılar üzerinde $u(x)= x$ olsun ve $v^\prime(x)=e^x$ olacak şekilde $v(x)=e^x$ seçimi yapmalım. Bu durumda $u^\prime(x)=1$ olur ve, $c$ bir sabit olmak üzere,  \begin{align*}\int x\cdot e^x\ dx \  &= \ x\cdot e^x- \int 1\cdot  e^x \ dx\\[15pt] &= \ x\cdot e^x- \int e^x \ dx\\[15pt] &=\ x\cdot e^x- e^x +c \\[15pt] &= \ e^x\cdot(x -1)+c\end{align*} eşitliği sağlanır.