Katsayıları $x$ ve $1$ olan sinüs cosinüs toplamını $r\cdot \cos\phi$ olarak yazabilmek için $\displaystyle \sin \theta(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ ve $\displaystyle \cos \theta(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ olarak tanımlarsak \begin{align*} x\cdot \sin x+\cos x &= \sqrt{x^2+1^2}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+1^2}}\cdot \sin x+\frac{1}{\sqrt{x^2+1^2}}\cdot \cos x\right)\\[11pt] &= \sqrt{x^2+1^2}\left(\sin \theta(x)\cdot \sin x+\cos\theta(x)\cdot \cos x\right)\\[11pt] &=\sqrt{x^2+1}\cdot \cos\left(x-\theta(x)\right)\end{align*} eşitliğini elde ederiz. Ayrıca $\tan \theta(x) =x$ olacağından \[\theta(x) = \tan^{-1}x\] seçimini yapabiliriz.
Bu bilgileri kullandığımızda integralimizi \begin{align*}\int \frac{x^2}{(x\cdot \sin x+\cos x)^2}dx&=\int \frac{x^2+1}{(x\cdot \sin x+\cos x)^2}\frac{x^2}{x^2+1}dx\\[11pt]&= \int \sec^2(x-\theta(x))\cdot \left(\frac{x^2}{x^2+1}\right)dx\\[11pt] &= \int \sec^2(x-\tan^{-1}x)\cdot \left(\frac{x^2}{x^2+1}\right)dx\end{align*}olarak yazabiliriz.
$u=x-\tan^{-1}x$ dönüşümü uygularsak $$du= \left(1-\frac{1}{x^2+1}\right)dx= \left(\frac{x^2}{x^2+1}\right)dx$$ eşitliğini de elde ederiz ve integralimiz $$\displaystyle \int \sec^2(u)du = \tan u +c= \tan\left(x-\tan^{-1}x\right)+c$$ olur. Bu da bize, tanjant açı fark eşitliği ile, $$ \int \frac{x^2}{(x\cdot \sin x+\cos x)^2}dx = \frac{ \tan x-x}{1+x\cdot \tan x}+c = \frac{\sin x-x\cos x}{\cos x+x\sin x}+c$$ esitligini verir. ($c$ sabit).