Başlanğıç için fikir yorumu:
Verilen fonksiyon bir polinom bölmesinin $e^x$ ile bileşkesi olarak ifade edilebilicek bir fonksiyondur. Bu tarz fonksiyonlarda $u=e^x$ olarak dönüşümünü uyguluyabiliriz. Bu dönüşüm ile $du=e^xdx$ eşitliği geliyor. Burada iki tercihten birinde bulunabilirsiniz.
$dx$ ifadesini $u$ içeren ifadelerle yazmak istersek $u=e^x$ eşitliğini $du=e^xdx$ içerisinde kullanabiliriz. Bu yazım tarzı ile $$dx=\frac1u du$$ olur. Bölülü bir ifade gelmesini tercih etmek istemezseniz ifadenin payını ve paydasını $e^x$ ile çarpabilirsiniz. Bu durumda $dx$ ile $e^x$ bir araya gelir ve bu $e^xdx$ bütününe $du$ diyebilirsiniz.
Cevap:
Verilen ifadenin payını ve paydasını (her gerçel sayı için sıfır olmayan) $e^x$ ile çarparsak $$\int\frac{dx}{e^{-x}+e^{x}}=\int\frac{e^xdx}{1+e^{2x}}$$ eşitliğini elde ederiz. $u=e^x$ olarak dönüşümünü uygularsak $du=e^xdx$ olur ve integralimiz $$\int\frac{e^xdx}{1+e^{2x}}=\int\frac{du}{1+u^2}$$ integraline dönüşür. Bilindik formlardan saydığımız bir integral formuna eriştik. Devam edersek, $c$ sabiti için, $$\int\frac{dx}{e^{-x}+e^{x}}=\int\frac{du}{1+u^2}=\arctan(u)+c=\arctan(e^x)+c$$ eşitliğini elde ederiz.