$\displaystyle \int \tan x \ dx$ belirsiz integrali

Question

$n$ bir tam sayı olmak üzere $$f:\begin{cases}\left(-\frac{\pi}2+n\pi,\frac{\pi}2+n\pi\right) &\to \mathbb R\\\qquad \qquad x &\mapsto \tan x\end{cases}$$ fonksiyonunun ters türevlerini bulunuz.

Diğer bir deyişle, $$\int \tan x \ dx$$ belirsiz integralini bulunuz.

Answer 1

Yararlı biçimde yazma:
$\sin$ ve $\cos$ türevleri ilişkili olduğundan $$\int \tan x \ dx=\int \frac{\sin x}{\cos x} \ dx$$ olarak yazalım.

Değişken değiştirme:
Değişken değiştirme yöntemi ile \begin{align*}\int\frac{\sin x}{\cos x}\ dx\    &= \  -\int\frac 1{u}du && \begin{matrix} u & = & \cos x \\ du& = & -\sin x dx\end{matrix}\\[7mm]  &= \ - \ln |u|+c \\[7mm]  &= \  -\ln|\cos x|+c \end{align*} sonucunu elde ederiz.

Not:
Logaritma özelliğini kullanırsak $$-\ln|\cos x|=\ln|(\cos x)^{-1}|=\ln|\sec x|$$eşitliği sağlanır.