$\displaystyle \int \arctan x \ dx$ belirsiz integrali

Question

$f:\mathbb R\to \mathbb R$ olmak üzere kuralı $$f(x)= \arctan x$$ olmak üzere $f$ fonksiyonunun ters türevlerini bulunuz. Diğer bir deyişle, $$\int  \arctan x \ dx$$ belirsiz integralini bulunuz.

Answer 1

Kısmı integrasyon:
Gerçel üzerinde $u(x)=\arctan x$ olsun ve $v^\prime(x)=1$ olacak şekilde $v(x)=x$ seçimi yapmalım. Bu durumda $u^\prime(x)=\frac1{x^2+1}$ olur ve pozitif gerçel üzerinde\begin{align*}\int\arctan x\ dx \  &= \ \int\left(\arctan x\cdot 1 \right)\ dx \\[15pt]  &= \ \arctan x\cdot x- \int \frac1{x^2+1}\cdot  x \ dx\\[15pt] &= \ \arctan x\cdot x-\int \frac{x}{x^2+1} \ dx\\[15pt]\end{align*} eşitliği sağlanır.

Değişken değiştirme:
Değişken değiştirme yöntemi ile \begin{align*}\int\frac x{x^2+1}dx\    &= \  \int\frac12\frac 1{t}dt && \begin{matrix} t & = & x^2+1 \\ dt& = & 2xdx\end{matrix}\\[7mm]  &= \ \frac12 \ln |t|+C \\[7mm]  &= \  \frac12\ln(x^2+1)+C \end{align*} sonucunu elde ederiz.

İntegrali bulma:
Bu bilgiler ile \begin{align*}\int\arctan x\ dx \ &= \ \arctan x\cdot x-\int \frac{x}{x^2+1} \ dx\\[15pt]  &= \ \arctan x\cdot x-\frac12\ln(x^2+1)+c\end{align*} eşitliği sağlanır.