$\displaystyle\int (\ln x)^2\ dx$ belirsiz integrali

Question

$f:\mathbb R_+\to \mathbb R$ olmak üzere kuralı $$f(x)= (\ln x)^2$$ olmak üzere $f$ fonksiyonunun ters türevlerini bulunuz. Diğer bir deyişle, $$\int (\ln x)^2\ dx$$ belirsiz integralini bulunuz.

Answer 1

Kısmi integral yönteminin fikri:
$u$ ve $v$ fonksiyonları bir $a$ noktasında türevlenebilir ise $$\left(u\cdot v\right)^\prime(a)=u(x)^\prime \cdot  v(a)+u(a)\cdot v^\prime(a)$$ eşitliği sağlanır. Eşitliği düzenlersek $$u(a)\cdot v^\prime(a)=\left(u\cdot v\right)^\prime(a)-u(a)^\prime \cdot  v(a)$$ eşitliğini elde ederiz.

Uygun fonksiyon seçimi - birinci aşama:
Pozitif gerçel sayılar üzerinde $u_1(x)=(\ln x)^2$ olsun ve $v_1^\prime(x)=1$ olacak şekilde $v_1(x)=x$ seçimi yapmalım. Bu durumda $u_1^\prime(x)=\frac1x\cdot 2\ln x$ olur ve $$(\ln x)^2\cdot 1=\left((\ln x)^2\cdot x\right)^\prime- \left(\frac1x\cdot 2\ln x \right)\cdot  x=\left((\ln x)^2\cdot x\right)^\prime-  2\ln x$$ eşitliğini elde ederiz.

Uygun fonksiyon seçimi - ikinci aşama:
$u_2(x)=\ln x$ olsun ve $v_2^\prime(x)=1$ olacak şekilde $v_2(x)=x$ seçimi yapmalım. Bu durumda $u_2^\prime(x)=\frac1x$ olur ve $$\ln x\cdot 1=\left(\ln x\cdot x\right)^\prime- \frac1x\cdot x=\left(\ln x\cdot x\right)^\prime- 1$$ eşitliğini elde ederiz.

Ters türev olarak yazma:
Ayrıca $\left(x\right)^\prime=1$ olduğundan, türevin lineer özelliği gereği, pozitif gerçel sayılar üzerinde  \begin{align*}(\ln x)^2\ &=\ \left((\ln x)^2\cdot x\right)^\prime-  2\ln x \\[10pt] &=\ \left((\ln x)^2\cdot x\right)^\prime-  2\cdot \left(\left(\ln x\cdot x\right)^\prime- 1\right)\\[10pt] &= \ \left((\ln x)^2\cdot x\right)^\prime-  2\cdot \left(\left(\ln x\cdot x\right)^\prime- \left(x\right)^\prime\right)\\[10pt] &=\ \left((\ln x)^2\cdot x-2\ln x\cdot x+2x\right)^\prime\end{align*} eşitliğini elde ederiz.

Ters türevler ve belirsiz integral:
Bu eşitlik gereği $(\ln x)^2\cdot x-2\ln x\cdot x+2x$ fonksiyonu $ (\ln x)^2$ fonksiyonunun pozitif gerçel sayılar üzerinde bir ters türevi olur. Bu da bize, $c$ bir sabit olmak üzere,   \begin{align*}\int(\ln x)^2 \ dx\ &= \ (\ln x)^2\cdot x-2\ln x\cdot x+2x+c\\[10pt] &=\ x\cdot ((\ln x)^2-2\ln x+2)+c\end{align*} eşitliğini verir.

Answer 2

Kısmı integrasyon I:
Pozitif gerçel sayılar üzerinde $u_1(x)=(\ln x)^2$ olsun ve $v_1^\prime(x)=1$ olacak şekilde $v_1(x)=x$ seçimi yapmalım. Bu durumda $u_1^\prime(x)=\frac1x\cdot 2\ln x$ olur ve  \begin{align*}\int(\ln x)^2\ dx \  &= \ \int\left((\ln x)^2\cdot 1 \right)\ dx \\[15pt]   &= \ (\ln x)^2\cdot x- \int \left(\frac1x\cdot 2\ln x \right)\cdot  x \ dx\\[15pt] &= \ (\ln x)^2\cdot x-2\int \ln x \ dx\end{align*} eşitliğini elde ederiz.

Kısmı integrasyon II:
Pozitif gerçel sayılar üzerinde $u_2(x)=\ln x$ olsun ve $v_2^\prime(x)=1$ olacak şekilde $v_2(x)=x$ seçimi yapmalım. Bu durumda $u_2^\prime(x)=\frac1x$ olur ve, $C$ bir sabit olmak üzere,  \begin{align*}\int\ln x\ dx \  &= \ \int\left(\ln x\cdot 1 \right)\ dx \\[15pt]  &= \ \ln x\cdot x- \int \frac1x\cdot  x \ dx\\[15pt] &= \ \ln x\cdot x-\int 1 \ dx\\[15pt] &= \ \ln x\cdot x-x+C\end{align*} eşitliği sağlanır.

Birleştirme:
Bu ilşkili kısmı integralleri birleştirirsek, $c$ bir sabit olmak üzere, pozitif gerçel sayılar üzerinde \begin{align*}\int(\ln x)^2\ dx \   &= \ (\ln x)^2\cdot x-2\int \ln x \ dx\\[15pt] &= \ (\ln x)^2\cdot x-2\cdot\left(\ln x\cdot x-x\right)+c\end{align*}  eşitliğini elde ederiz.