0 oy
Sonsuz Toplamlar kategorisinde tarafından
$$\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{\pi}{2}-\arctan(n^2)\right)$$ toplamının yakınsaklığını inceleyiniz.

1 cevap

0 oy
tarafından

Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız. 

Analiz:
Toplam $p$-toplamları ile ilişkili olmasa da fonksiyonsal türevi ilişkilidir. Bu nedenle fonksiyonsal türevi bu türev ile denk olacak bir $p$-toplam bulmamız gerekli. Bu toplamın teriminin, türev aldığında, $1/n^2$ olması gerektiğini görebiliriz.

Limit alma:
Toplamımıza iç terimi $1/n^2$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulamak uygulayalım. İç terimlerin limitini incelersek\begin{align*}\lim_{n\to \infty}\dfrac{\dfrac{\pi}{2}-\arctan(n^2)}{\dfrac{1}{n^2}} \ &= \ \lim_{x\to \infty}\dfrac{\dfrac{\pi}{2}-\arctan(x^2)}{\dfrac{1}{x^2}}  \qquad{\color{teal}{\text{(diziden fonksiyona)} \ \ (0/0)}} \\[15pt] &\stackrel{l'h}{=} \ \lim_{x\to \infty}\dfrac{-2x\cdot \dfrac{1}{1+(x^2)^2}}{-2x^{-3}}\\[15pt] &= \ \displaystyle\lim_{x\to \infty}\dfrac{x^4}{x^4+1}\\[15pt] &= \ \displaystyle\lim_{x\to \infty}\dfrac{1}{1+x^{-4}}\\[15pt] &= \ \frac{1}{1+0}\\[15pt] &= \ 1\end{align*}eşitliği sağlanır.

Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$p=2>1$ olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}$$ toplamı  $p$-toplam testi gereği yakınsaktır.

Toplamın yakınsaklığı:
Bu toplam yakınsak olduğundan, limit karşılaştırma testi gereği, pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left(\dfrac{\pi}{2}-\arctan(n^2)\right)$$ toplamı yakınsak olur.

Emrah Sercan Yılmaz'ın kişisel matematik bloğudur.

Site soru cevap formatındadır fakat blog olarak kullanıldığından soru soramaz ya da cevap veremezsiniz. Sadece bilgi almanız içindir.

Soru sormak isteyen ziyaretçiler benim de bir üyesi olduğum matkafasi.com adresinden sorularını sorabilirler.

Sitenin temel amacı güvenilebilir bir Türkçe kaynak oluşturmaktır. Bazı işlem ya da yazım hataların olması doğaldır. Lütfen bunları gördüğünüzde bana site içi iletişim ya da eposta yoluyla bildiriniz.

Katkı sağlamak isterseniz. (Eksik ya da yeni) Soru ya da cevap önerisinde bulunabilirsiniz. Lütfen LaTeX kodlarını bana iletisim.emseyi@gmail.com yoluyla (hiçbir hak talep etmediğinizi belirterek) bildiriniz.

...