Has olmayı bozan noktalar:
$x/(x^2+1)$, sürekli bir fonksiyon olduğudan has olmayı bozan $-\infty$ ve $\infty$ sınırları olur.
Has olmayan integrali temel lhas olmayan parçalara ayırmak:
$0$ hem solda hem sağdan has olmanın koşulunu bozan nokta olduğundan $$\int_{-\infty}^\infty\frac x{x^2+1}dx=\int_{-\infty}^0\frac x{x^2+1}dx+\int_{0}^\infty\frac x{x^2+1}dx$$ olarak integralimizi hesaplamalıyız.
Not: Bu parçaları ayrı ayrı hesaplamamız gerekir. Eğer ıraksak bir parçası varsa onu hesaplamamız yeterlidir.
Iraksak olanlardan birini hesaplama:
Has olmayan integrali has olan integrallerin limiti olarak yazma:
Has olmayan integralin tanımı gereği $$\int_{0}^\infty\frac x{x^2+1}dx=\lim\limits_{R\to\infty}\int_{0}^\infty\frac x{x^2+1}dx$$ integralleri ve bunların limiti ile ilgilenmeliyiz.
Belirsiz integrali hesaplama:
İç integralleri belirsiz olarak hesaplarsak\begin{align*}\int\frac x{x^2+1}dx\ &= \ \int\frac12\frac 1{u}du && \begin{matrix} u & = & x^2+1 \\ du& = & 2xdx\end{matrix}\\[7mm] &= \ \frac12 \ln |u|+c \\[7mm] &= \ \frac12\ln(x^2+1)+c \end{align*} sonucunu elde ederiz.
Belirli integralleri hesaplama:
İç integralleri hesaplarsak\begin{align*}\int_{0}^R\frac x{x^2+1}dx\ &= \ \frac12\ln(x^2+1) \bigg |_0^R \\[7mm] &= \ \frac12\ln(R^2+1)-\frac12\ln(1) \\[7mm] &= \ \frac12\ln(R^2+1) \end{align*} sonucunu elde ederiz.
Limit alma ve ilgili integrali hesaplama:
Elde ettiğimiz bilgiyi kullaırsak \begin{align*}\int_{0}^\infty\frac x{x^2+1}dx \ &= \ \lim\limits_{R\to\infty}\int_{0}^R\frac x{x^2+1}dx\\[7mm] &= \ \lim\limits_{R\to\infty}\frac12\ln(R^2+1)\\[7mm] &= \ \infty \end{align*} eşitliğini elde ederiz.
Sonuç:
Has olmayan integralin bir parçası ıraksak olduğundan $$ \int_{-\infty}^\infty\frac x{x^2+1}dx$$ integrali ıraksak olur.