Payı ve paydayı $x^3+1$ ile çarpalım. $0$ noktasında $x^{-1}\sin x$ limitinin $1$ eşit olduğun bilgisini kullanabilecek şekilde ifadeyi düzenleyelim. \begin{align*}\lim\limits_{x\to -1} \dfrac{\sin (x^{3}+1)}{x^2-x+2}\ &= \ \lim\limits_{x\to -1}\left[\dfrac{\sin(x^{3}+1)}{x^2-x+2}\cdot\frac{x^3+1}{x^3+1}\right]\\[12pt]\ &= \ \lim\limits_{x\to -1} \left[\dfrac{\sin (x^{3}+1)}{x^3+1}\cdot\frac{x^3+1}{x^2-x+2}\right]\end{align*}İlk fonksiyon kesirinin limiti $1$'dir. $0/0$ belirsizliğine sahip polinom kesrinin limitini bulmaya çalışalım. Payı $(x+1)(x^2-x+1)$ ve paydayı $(x+1)(x-2)$ olarak çarpanlara ayıralım ve $x+1$ sadeleştirmesi yaparak limit değerini bulalım. Bu yöntem ile\begin{align*}\phantom{ \lim\limits_{x\to -1} \dfrac{\sin (x^{3}+1)}{x^2-x+2}}\ &= \ \lim\limits_{x\to -1} \left[\dfrac{\sin (x^{3}+1)}{x^3+1}\cdot\frac{(x+1)\cdot(x^2-x+1)}{(x+1)\cdot (x-2)}\right]\\[12pt]&=\ \lim\limits_{x\to -1} \left[\dfrac{\sin (x^{3}+1)}{x^3+1}\cdot\frac{x^2-x+1}{x-2}\right]\\[12pt]&=\ 1\cdot \frac{(-1)^2-(-1)+1}{(-1)-2}\\[12pt]&=\ -1\end{align*}eşitliğini buluruz.
____________________________
Kullanılan bir bilgi:
$u$ fonksiyonu $a$'nın bir civarında sıfır fonksiyon olmasın ve $\lim\limits_{x\to a} u(x)=0$ sağlansın. Bu durumda $$\lim\limits_{x\to a} \dfrac{\sin u(x)}{u(x)}=1$$eşitliği sağlanır.
Bu bilgiyi $a=-1$ ile $u(x)=x^3+1$ kurallı $u: \mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonu için kullandık.