Süklekli kılma:
Fonksiyonların limit noktalarınındaki değerleri limit değerini etkilemediğinden $f$ ve $g$ fonksiyonlarının $a$ noktasındaki değerini $0$ olarak kabul edebiliriz. Bu durumda $f$ ve $g$ fonksiyonları $a$ noktasında sağdan sürekli olur.
Cauchy ortalama değer savının koşulları:
$f$ ve $g$ fonksiyonları sol uç noktası $a$ olan ve boş olmayan bir açık aralıkta türevlenebilir olduğundan ve ayrıca $g^\prime$ fonksiyonunun sol uç noktası $a$ olan ve boş olmayan bir açık aralıkta görüntüsünde sıfır olmadığından...
bir $b$ değeri vardır ki $t\in (a,b)$ olduğunda
$g^\prime(t)$ değeri vardır ve sıfır değildir,
$f^\prime(t)$ değeri vardır
ve
$g$ fonksiyonu $[a,t]$ üzerinde süreklidir,
$f$ fonksiyonu $[a,t]$ üzerinde süreklidir.
Cauchy ortalama değer savını kullanma:
Cauchy Ortalama Değer Savı gereği bir $c_t\in (a,t)$ için ($f(a)=g(a)=0$ olduğunu hatırlayalım) $$\frac{f(t)}{g(t)}=\frac{f(t)-f(a)}{g(t)-g(a)}=\frac{f^\prime(c_t)}{g^\prime(c_t)}$$ eşitliği sağlanır.
İspat:
Var olan $\lim\limits_{x\to a^+}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$ değerini $L$ olarak tanımlayalım.
$\epsilon>0$ verilsin. Limit tanımı gereği bir $\delta^\prime>0$ için $$0<x-a<\delta^\prime \ \ \ \text{ ise } \ \ \ \left|\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}-L\right|<\epsilon$$ sağlanır.
$\delta=\min \{\delta^\prime,b-a\}>0$ olarak seçersek $$0<x-a<\delta$$ sağlandığında $$\color{green}{\left|\frac{f(x)}{g(x)}-L\right|}=\left|\frac{f^\prime(c_x)}{g^\prime(c_x)}-L\right|\color{green}{<\epsilon}$$sağlanır. Bu da ispatı bitirir.