Göstermek istediğimiz:
Verilen $\epsilon >0$ için öyle bir $\delta > 0$ vardır ki $0<|x-a|<\delta$ sağlandığında $$\left|(g \circ f)(x)-L\right|<\epsilon$$ eşitsizliği sağlanır.
İspat:
$\epsilon>0$ verilsin.
(0) $a$ noktasının bir civarında $f$ fonksiyonu $a$ noktası dışında $b$ değerini almadığından bir $\delta_1>0$ değeri için $0<|x-a|<\delta_1$ oldduğunda $f(x)\ne b$, yani $f(x)-b\ne 0$ sağlanır.
(1) $g$ fonksiyonunun $b$ noktasındaki limiti $L$ olduğundan bir $\gamma >0$ için $0<|x-b|<\gamma$ sağlandığında$$\left|g(x)-L\right|<\epsilon$$ eşitsizliği sağlanır.
(2) $f$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki limiti $b$ olduğundan bir $\delta_2 >0$ için $0<|x-a|<\delta$ sağlandığında$$\left|f(x)-b\right|<\gamma$$ eşitsizliği sağlanır.
(3) $\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}$ seçimi ile $0<|x-a|<\delta$ sağlandığında, ikinci çıkarım gereği, $\left|f(x)-b\right|<\gamma$ eşitsizliği sağlanır, sıfırıncı çıkarım gereği, $0<\left|f(x)-b\right|<\gamma$ sağlanır, birinci çıkarım gereği, $$\left|g(f(x))-L\right|<\epsilon$$ eşitsizliği de sağlanır.