Amaca uygun bir fonksiyon tanımlama:
$f:\mathbb R_+\to \mathbb R$ fonksiyonunu kuralı $$f(x)=x-1-\ln x$$ olacak şekilde tanımlayalım. Amacımız her $x\in \mathbb R_+$ değeri için $f(x)\ge 0$ olduğunu göstermektir.
Türev ile ilgilenme:
$f$ fonksiyonunun türev kuralı $$f^\prime(x)=1-0-\frac1x=\frac{x-1}{x}$$ olur.
(a) $x=1$ için türev değeri sıfır olur.
(b) $0<x<1$ için türev değerleri negatif olur.
(c) $x>1$ için türev değerleri pozitif olur.
(b) ve ortalama değer savı gereği $f$ fonksiyonu $(0,1]$ üzerinde azalan olur. (c) ve ortalama değer savı gereği $f$ fonksiyonu $[1,\infty)$ üzerinde artan olur. Bu iki bilgi bize $f$ fonksiyonun $1$ noktasında en küçük değer alacağını verir.
Sonuç:
Her $x\in \mathbb R_+$ değeri için $$f(x)\ge f(1)=1-1-\ln 1=0$$ eşitsizliği sağlandığından istenen $$\ln x\le x-1$$ eşitsizliği sağlanır.
Ek çıkarım:
Her $x\in \mathbb R_+$ değeri için $x^{-1}\in \mathbb R_+$ olur ve bulduğumuz sonuç gereği $$\ln x^{-1}\le x^{-1}-1$$ eşitsizliği sağlanır. Eşitsizliği düzenlersek \begin{align*}\ln x^{-1}\le x^{-1}-1 \ \ \ &\implies \ \ \ -\ln x\le x^{-1}-1 \\[10pt]&\implies \ \ \ 1-x^{-1}\le \ln x \\[10pt]&\implies \ \ \ \frac{x-1}{x} \le \ln x\end{align*} eşitsizliğini elde ederiz.