$\displaystyle \int x\cdot \ln x \ dx$ belirsiz integrali

Question

$f:\mathbb R_+\to \mathbb R$ olmak üzere kuralı $$f(x)=x\cdot \ln x$$ olmak üzere $f$ fonksiyonunun ters türevlerini bulunuz. Diğer bir deyişle, $$\int x\cdot \ln x \ dx$$ belirsiz integralini bulunuz.

Answer 1

Kısmi integral yönteminin fikri:
$u$ ve $v$ fonksiyonları bir $a$ noktasında türevlenebilir ise $$\left(u\cdot v\right)^\prime(a)=u(x)^\prime \cdot  v(a)+u(a)\cdot v^\prime(a)$$ eşitliği sağlanır. Eşitliği düzenlersek $$u(a)\cdot v^\prime(a)=\left(u\cdot v\right)^\prime(a)-u(a)^\prime \cdot  v(a)$$ eşitliğini elde ederiz.

Uygun fonksiyon seçimi:
Pozitif gerçel sayılar üzerinde $u(x)=\ln x$ olsun ve $v^\prime(x)=x$ olacak şekilde $v(x)=\frac12x^2$ seçimi yapmalım. Bu durumda $u^\prime(x)=\frac1x$ olur ve $$\ln x\cdot x=\left(\ln x\cdot \frac12x^2\right)^\prime- \frac1x\cdot  \frac12x^2$$ eşitliğini elde ederiz.

Ters türev olarak yazma:
Ayrıca $\left(\frac14x^2\right)^\prime=\frac12x$ olduğundan, türevin lineer özelliği gereği, pozitif gerçel sayılar üzerinde \begin{align*}\ln x\cdot x\ &=\ \left(\ln x\cdot \frac12x^2\right)^\prime- \frac1x\cdot  \frac12x^2 \\[10pt] &=\ \left(\ln x\cdot \frac12x^2\right)^\prime- \frac12x\\[10pt] &=\ \left(\ln x\cdot \frac12x^2\right)^\prime- \left(\frac14x^2\right)^\prime\\[10pt] &=\ \left(\ln x\cdot \frac12x^2-\frac14x^2\right)^\prime\end{align*} eşitliğini elde ederiz. 

Ters türevler ve belirsiz integral:
Bu eşitlik gereği $\ln x\cdot \frac12x^2-\frac14x^2$ fonksiyonu $x\cdot \ln x$ fonksiyonunun pozitif gerçel sayılar üzerinde bir ters türevi olur. Bu da bize, $c$ bir sabit olmak üzere,  $$\int x\cdot \ln x \ dx=\ln x\cdot \frac12x^2-\frac14x^2+c=\frac14x^2\cdot(2\ln x -1)+c$$ eşitliğini verir.

Answer 2

Kısmı integrasyon:
Pozitif gerçel sayılar üzerinde $u(x)=\ln x$ olsun ve $v^\prime(x)=x$ olacak şekilde $v(x)=\frac12x^2$ seçimi yapmalım. Bu durumda $u^\prime(x)=\frac1x$ olur ve, $c$ bir sabit olmak üzere,  \begin{align*}\int x\cdot \ln x\ dx \ = \ \int \ln x\cdot x\ dx \  &= \ \ln x\cdot \frac12x^2- \int \frac1x\cdot   \frac12x^2 \ dx\\[15pt] &= \ \frac12x^2\cdot \ln x-\int \frac12x \ dx\\[15pt] &= \ \frac12x^2\cdot \ln x-\frac14x^2+c \\[15pt] &= \ \frac14x^2\cdot(2\ln x -1)+c\end{align*} eşitliği sağlanır.