Kullanıcı kayıtları açıktır. Kayıtlı kullanıcılar sadece soru ve cevaplara oy verebilir. Favoriler bölümüne kendi istedikleri soruları ekleyebilirler.
0 oy
Sonsuz Toplamlar kategorisinde tarafından
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{1+\frac1n}}$$ toplamının yakınsaklığını inceleyiniz.

1 cevap

0 oy
tarafından

Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız. 

Analiz:
Toplamın terimi $1/n$ ifadesin ile limitsel benzerlik gösteriyor ve aralarındaki oransal limit de $1$ değerine sahiptir. Sonuca limit karşılaştırma testi ile varabiliriz.

Limit alma:
Toplamımıza iç terimi $1/n$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulamak uygulayalım. İç terimlerin limitini incelersek\begin{align*} \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{1}{n^{1+\frac1n}}}{n^{-1}}\ &= \ \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{1}{x^{1+\frac1x}}}{x^{-1}}\qquad{\color{teal}{\text{(diziden fonksiyona)}}}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{x \to \infty}\left(x^{\frac1x}\right)^{-1}\\[15pt] &\stackrel{*}{=} \ 1^{-1}\\[15pt] &= \ 1\end{align*}eşitliği sağlanır. (Yıldızlı limit geçişinin ispatını aşağıda vereceğiz.)

Karşılaştırma yapacağımız toplamın ıraksaklığısaklığı:
$p=1\le 1$ olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n}$$ toplamı  $p$-toplam testi gereği ıraksar.

Toplamın ıraksaklığı:
Bu toplam ıraksak olduğundan, limit karşılaştırma testi gereği, pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^{1+\frac1n}}$$ toplamı ıraksak olur.

________________________

Ara limitin hesabı: 
Yukarıdaki limitin, ilk olarak, logaritmasını incelersek \begin{align*} \lim\limits_{x \to \infty}\ln\left(x^{\frac1x}\right) \ &= \  \lim\limits_{x \to \infty}\frac{\ln x}x\qquad{\color{teal}{(\infty/\infty)}}\\[15pt] &\stackrel{l'h}{=}  \  \lim\limits_{x \to \infty}\frac{x^{-1}}{1}\\[15pt]  &= \  \lim\limits_{x \to \infty}\frac{1}{x}\\[15pt]  &= \ 0\end{align*} eşitliği sağlanır. $\exp$ fonksiyonu $0$ noktasında sürekli olduğundan $$  \lim\limits_{x \to \infty} x^{\frac1x}= \lim\limits_{x \to \infty}\exp\left(\ln\left(x^{\frac1x}\right)\right)=\exp\left(\lim\limits_{x \to \infty}\ln\left(x^{\frac1x}\right)\right)=\exp(0)=1$$ eşitliği sağlanır.

...