Fikir:
İç ifadeyi teleskopik toplamsal yazıp sonuca ulaşacağız.
Terimleri teleskopik olarak yazma:
$n\ge 1$ için $$\frac{n+1}{n^2(n+2)^2}= \frac{\frac14((n+2)^2-n^2)}{n^2(n+2)^2}=\dfrac14\left(\dfrac1{n^2}-\dfrac1{(n+2)^2}\right)$$ eşitliği sağlanır.
Parça toplam:
$k\ge 2$ için \begin{align*}\require{cancel}\sum_{n=1}^k \frac{n+1}{n^2(n+2)^2}\ &= \ \sum_{n=1}^k \dfrac14\left(\dfrac1{n^2}-\dfrac1{(n+2)^2}\right) \\[10pt] &= \ \dfrac14\left(1-\cancel{\frac1{3^2}}\right)\\ &\ \ + \dfrac14\left(\frac1{2^2}-\cancel{\frac1{4^2}}\right)\\ &\ \ +\dfrac14\left(\cancel{\frac1{3^2}}-\cancel{\frac1{5^2}}\right)\\ &\ \ \, +\\ &\ \ \ \vdots\\ &\ \ +\dfrac14\left(\cancel{\frac1{(k-2)^2}}-\cancel{\frac1{k^2}}\right)\\&\ \ +\dfrac14\left(\cancel{\frac1{(k-1)^2}}-\frac1{(k+1)^2}\right)\\ &\ \ +\dfrac14\left(\cancel{\frac1{k^2}}-\frac1{(k+2)^2}\right)\\[10pt] &=\ \dfrac14 \left(1+\frac1{2^2}-\frac1{(k+1)^2}-\frac1{(k+2)^2}\right)\end{align*}eşitliği sağlanır.
Toplamın değeri:
Parça toplamlardan gelen sonucu kullanırsak \begin{align*}\sum_{n=1}^\infty \frac{n+1}{n^2(n+2)^2} \ &= \ \lim\limits_{k \to \infty} \sum_{n=1}^k \frac{n+1}{n^2(n+2)^2}\\[10pt] &= \ \lim\limits_{k \to \infty} \dfrac14 \left(1+\frac1{2^2}-\frac1{(k+1)^2}-\frac1{(k+2)^2}\right)\\[10pt] &= \ \dfrac14 \left(1+\frac14-0-0\right) \\[10pt] &= \ \frac5{16}\end{align*} eşitliğini elde ederiz.