l'Hôpital kuralını uygulayabilmek için integrallerin türevini almamız gerekiyor. Bu türevleri bulalım.
Analizin temel savını kullanma:
Kuralı $f(t)=e^{t^2}$ olan $f:\mathbb R \to \mathbb R$ ve kuralı $g(t)=\cos\left(\frac\pi2\sqrt t\right)$ olan $g:\mathbb R_{\ge 0} \to \mathbb R$ fonksiyonu sürekli olduğundan, analizin temel savı I gereği, pozitif gerçel sayılar üzerinde, $$\frac d{dx} \displaystyle\int_0^{x}e^{t^2} \ dt=e^{x^2}\ \ \ \text{ve } \ \ \ \frac d{dx} \displaystyle\int_0^{x}\cos\left(\frac\pi2\sqrt t\right) \ dt=\cos\left(\frac\pi2\sqrt x\right)$$ eşitlikleri sağlanır.
Zincir kuralı:
Paydadaki fonksiyonu $$ \displaystyle\int_0^{x^2}\cos\left(\frac\pi2\sqrt t\right)\ dt=\left(\displaystyle\int_0^{x}\cos\left(\frac\pi2\sqrt t\right) \ dt\right) \circ \left(x^2\right)$$ olarak yazalım. Türevlenebilir fonksiyonlardan oluşan bu bileşke fonksiyona zincir kuralını uygularsak, pozitif $x$ değerleri için, türevi $$2x\cdot\cos\left(\frac\pi2\sqrt {x^2}\right)=2x\cdot \cos\left(\frac\pi2 x\right) $$ olur.
l'Hôpital uygulayalım ve türev değerini bulalım.
Limit değerini bulma:
$0/0$ belirsizliği var. Belirsizliği gidermek için iki kere l'Hôpital kuralını uygulayalım ve sonuca varalım. Bu yol ile \begin{align*}\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{x-\displaystyle\int_0^x e^{t^2}\ dt }{\displaystyle\int_0^{x^2} \cos\left(\frac\pi2\sqrt t\right)\ dt}\ &= \ \lim\limits_{x\to 1}\frac{1- e^{x^2} }{ 2x\cdot \cos\left(\dfrac\pi2x\right)}\\[15pt] &= \ \ \lim\limits_{x\to 0^+}\frac{- 2x\cdot e^{x^2} }{ 2\cdot \cos\left(\dfrac\pi2x\right)+2x\cdot -\frac\pi2\sin\left(\dfrac\pi2x\right)}\\[15pt] &= \frac{- 2\cdot 0\cdot e^{0^2} }{ 2\cdot \cos\left(\dfrac\pi2\cdot 0\right)+2\cdot 0\cdot -\frac\pi2\sin\left(\dfrac\pi2\cdot 0\right)}\\[15pt] &= \ 0\end{align*} eşitliğini buluruz.