$\left(1+x^2-\dfrac1{x^2}\right)^{\frac73}$ fonksiyonunun türevi

Question

$f:\mathbb R_{>0} \to \mathbb R$ fonksiyonunun kuralı $f(x)=\left(1+x^2-\frac1{x^2}\right)^{\frac73}$ olmak üzere $f^{\prime}$ fonksiyonunu bulunuz.

Answer 1

Zincir kuralına uygun yazma:
$f$ fonksiyonunun kuralını  $$f(x)=\left(1+x^2-\frac1{x^2}\right)^{\frac73}=x^{7/3}\circ\left(1+x^2-\frac1{x^2}\right)$$ olarak yazabiliriz. 

Zincir kuralını uygulama:
Kuralı $1+x^2-\frac1{x^2}$ olan fonksiyon pozitif gerçel sayılar üzerinde ve kuralı $x^{7/3}$ olan fonksiyon gerçel sayılar üzerinde türevlenebildiğinden pozitif gerçel sayılar üzerinde \begin{align*}f^\prime(x)\ &= \ (0+2x-\left(-2x^{-3}\right))\cdot \frac73\left(1+x^2-\frac1{x^2}\right)^{\frac73-1}\\[15pt] &=\ (2x+2x^{-3})\cdot  \frac73\left(1+x^2-\frac1{x^2}\right)^{\frac43}\\[15pt] &=\ \frac{14}3\cdot (x+x^{-3})\cdot \left(1+x^2-\frac1{x^2}\right)^{\frac43}\end{align*} eşitliği sağlanır.