Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
$0$ noktasında $5^x$ kurallı fonksiyonun türevinin $\ln 5$ olduğunu kullanarak bu toplamı terimleri $1/n^2$ olan toplamla ilişkilendirebiliriz.
Terim limiti:
Toplam içerisindeki terimin limitine baktığımızda\begin{align*} \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{5^{x^{-2}}-1}{n^{-2}}\ &= \ \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{5^{x^{-2}}-1}{x^{-2}}\qquad{\color{teal}{\text{(diziden fonksiyona)}}}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{t \to 0^+} \dfrac{5^t -1}{t}\qquad{\color{teal}{(t=x^{-2})}}\\[15pt] &= \ \ln 5\end{align*}eşitliği sağlanır.
Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$p=2> 1$ olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}$$ toplamı $p$-toplam testi gereği yakınsaktır.