$ax^2+bx$ fonksiyonunun $(1,4)$ noktasındaki teğeti $y=x+3$ ise $a$ ve $b$ değerleri

Question

$a$ ve $b$ gerçel sayılar olmak üzere $f:\mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonunun kuralı $$f(x)=ax^2+bx$$ olarak veriliyor. $f$ fonksiyonunun $(1,4)$ noktasındaki teğeti $y=x+3$ doğrusu olduğuna göre $a$ ve $b$ gerçel sayılarını bulunuz.

Answer 1

Nokta bilgisi ile eşitlik elde etme:
$f$ fonksiyonunun $(1,4)$ noktasındaki teğetini inceleyebilmemiz için bu nonta fonksiyon ile elde ettiğimiz eğri üzerinde olmalıdır. Dolayısıyla $$4=a\cdot 1^2+b\cdot 1=a+b  \ \ \ \text{ yani }\ \ \ a+b=4$$ eşitliği sağlanır.

Eğim bilgisi ile eşitlik elde etme:
$f$ fonksiyonunun türev kuralı $f^\prime(x)=2ax+b$ eşitliğini sağlar. Ayrıca $f$ fonksiyonunun $(1,4)$ noktasındaki teğeti olan $y=x+3$ doğrusunun eğimi $1$ olduğundan $$1=f^\prime(1)=2a\cdot 1+b=2a+b \ \ \ \text{ yani }\ \ \ 2a+b=1$$ eşitliği sağlanır.

Sonuca varma:
Elde ettiğimiz eşitlikleri taraf tarafa çıkartırsak $a=-3$ ve $b=7$ eşitliklerini elde ederiz.