tanh fonksiyonunun exp ile verilen tanımı:
Her $x$ gerçel sayısı için $$\tanh x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$$ eşitliği sağlanır.
Limit alma:
$\tanh$ fonksiyonunun $\exp$ ile verilen tanımını kullanalım. $\infty/\infty$ belirsizliği var. Bu belirsizliği gidermek için payı ve paydayı $e^x$ parantezine alalım ve sadeleştirelim. Sonsuzda $e^{-2x}$ limitinin sıfır olduğunu kullanalım ve sonuca varalım. Bu yol ile\begin{align*}\lim\limits_{x\to \infty}\tanh x \ &=\ \lim\limits_{x\to \infty}\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \\[17pt]&= \ \lim\limits_{x\to \infty}\frac{e^x\cdot (1-e^{-2x})}{e^x\cdot (1+e^{-2x})}\\[17pt]&= \ \lim\limits_{x\to \infty}\frac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}\\[17pt]&= \ \frac{1-0}{1+0}\\[17pt]&= \ 1\end{align*}eşitliğini elde ederiz.