0 oy
Sonsuz Toplamlar kategorisinde tarafından

Iraksama durumu:
$|r|\ge 1$ olmak üzere $\sum\limits_{k=1}^\infty r^{k-1}$ toplamı ıraksar.

Yakınsama durumu:
$|r|< 1$ olmak üzere $\sum\limits_{k=1}^\infty r^{k-1}$ toplamı  $$\frac1{1-r}$$ değerine yakınsar.

1 cevap

0 oy
tarafından

Iraksama durumu:
$|r|\ge 1$ ve $r\ne 1$ olduğunda $$\lim_{n\to\infty} r^n$$ limiti var olmadığından (bu nedenle limit değeri sıfır değildir) Iraksaklık Testi gereği $$\sum\limits_{k=1}^\infty r^{k-1}$$ toplamı ıraksar. Ayrıca $r=1$ durumumda $\lim\limits_{n\to\infty} r^n=1\ne 0$ olduğundan  Iraksaklık Testi gereği verilen toplam ıraksar.

Yakınsama durumu:
Kısmi toplamları bulma:
$|r|< 1$ olmak üzere \begin{align*} (1-r)\cdot (1+r+\cdots+r^{n-1})\ &=\ (1+r+\cdots+r^{n-1})\\[3pt]& \ \ \ \ \ \ \ \  -(r+r^2+\cdots+r^{n})\\[10pt] &= \ 1-r^n\end{align*} eşitliği sağlanır ve $$\sum\limits_{k=1}^n r^{k-1}=\frac{1-r^n}{1-r}$$ eşitliğini elde ederiz.

Kısmi toplamlar dizisinin limiti:
$|r|< 1$ olduğunda $\lim\limits_{n\to\infty} r^n=0$ olduğundan  \begin{align*} \sum\limits_{k=1}^\infty r^{k-1}\ &= \ \lim\limits_{n\to \infty}\sum\limits_{k=1}^n r^{k-1}\\[10pt] &= \ \lim\lim\limits_{n\to \infty}\frac{1-r^n}{1-r}\\[10pt] &=\ \frac{1-0}{1-r}\\[10pt] &=\ \frac{1}{1-r}\end{align*}eşitliği sağlanır.

...