$\int x\cdot \ln x \ dx$ belirsiz integrali

Question

$f:\mathbb R_+\to \mathbb R$ kuralı $$f(x)= x\cdot \ln x$$ olmak üzere $f$ fonksiyonunun ters türevlerini bulunuz. Diğer bir deyişle, $$\int   x\cdot \ln x \ dx$$ belirsiz integralini bulunuz.

Answer 1

Kısmi integral yönteminin fikri:
$u$ ve $v$ fonksiyonları bir $a$ noktasında türevlenebilir ise $$\left(u\cdot v\right)^\prime(a)=u(a)^\prime \cdot  v(a)+u(a)\cdot v^\prime(a)$$ eşitliği sağlanır. Eşitliği düzenlersek $$u(a)\cdot v^\prime(a)=\left(u\cdot v\right)^\prime(a)-u(a)^\prime \cdot  v(a)$$ eşitliğini elde ederiz.

Uygun fonksiyon seçimi:
Pozitif gerçel sayılar üzerinde $u(x)=\ln x$ olsun ve $v^\prime(x)=x$ olacak şekilde $v(x)=\frac12x^2$ seçimi yapmalım. Bu durumda $u^\prime(x)=\frac1x$ olur ve $$\ln x\cdot x=\left(\ln x\cdot \frac12x^2\right)^\prime- \frac1x\cdot \frac12x^2$$ eşitliğini elde ederiz.

Ters türev olarak yazma:
Ayrıca $\left(\frac14x^2\right)^\prime=\frac12x$ olduğundan, türevin lineer özelliği gereği, pozitif gerçel sayılar üzerinde \begin{align*}x\cdot \ln x\ &=\ \left( \frac12x^2\cdot \ln x\right)^\prime- \frac12x \\[10pt] &=\ \left(\frac12x^2\cdot \ln x\right)^\prime- \left(\frac14x^2\right)^\prime\\[10pt] &=\ \left(\frac12x^2\cdot \ln x-\frac14x^2\right)^\prime\end{align*} eşitliğini elde ederiz.

Ters türevler ve belirsiz integral:
Bu eşitlik gereği $\frac12x^2\cdot \ln x-\frac14x^2$ fonksiyonu $ x\cdot \ln x$ fonksiyonunun pozitif gerçel sayılar üzerinde bir ters türevi olur. Bu da bize, $c$ bir sabit olmak üzere,  $$\int x\cdot \ln x \ dx=\frac12x^2\cdot \ln x-\frac14x^2+c=\frac14x^2\cdot (2\ln x-1)+c$$ eşitliğini verir.

Answer 2

Kısmı integrasyon:
Pozitif gerçel sayılar üzerinde $u(x)=\ln x$ olsun ve $v^\prime(x)=x$ olacak şekilde $v(x)=\frac12x^2$ seçimi yapmalım. Bu durumda $u^\prime(x)=\frac1x$ olur ve, $c$ bir sabit olmak üzere, pozitif gerçel üzerinde\begin{align*}\int x\cdot \ln x\ dx \   &= \ \int \ln x\cdot x\ dx\\[15pt] &= \ \ln x\cdot \frac12 x^2- \int \frac12x^2\cdot \frac1x \ dx\\[15pt] &= \ \ln x\cdot \frac12 x^2- \int \frac12x \ dx\\[15pt]  &= \ \ln x\cdot \frac12 x^2 - \frac14x^2 +c \\[15pt] &= \ \frac14x^2\cdot (2\ln x-1)+c\end{align*} eşitliği sağlanır.