$\int x^r\cdot \ln x \ dx$ belirsiz integrali

Question

$r\ne -1$ bir gerçel sayı ve $f:\mathbb R_+\to \mathbb R$ kuralı $$f(x)= x^r\cdot \ln x$$ olmak üzere $f$ fonksiyonunun ters türevlerini bulunuz. Diğer bir deyişle, $$\int   x^r\cdot \ln x \ dx$$ belirsiz integralini bulunuz.

Answer 1

Kısmi integral yönteminin fikri:
$u$ ve $v$ fonksiyonları bir $a$ noktasında türevlenebilir ise $$\left(u\cdot v\right)^\prime(a)=u(a)^\prime \cdot  v(a)+u(a)\cdot v^\prime(a)$$ eşitliği sağlanır. Eşitliği düzenlersek $$u(a)\cdot v^\prime(a)=\left(u\cdot v\right)^\prime(a)-u(a)^\prime \cdot  v(a)$$ eşitliğini elde ederiz.

Uygun fonksiyon seçimi:
Pozitif gerçel sayılar üzerinde $u(x)=\ln x$ olsun ve $v^\prime(x)=x^r$ olacak şekilde $v(x)=\frac1{r+1}x^{r+1}$ seçimi yapmalım. Bu durumda $u^\prime(x)=\frac1x$ olur ve $$\ln x\cdot x^r=\left(\ln x\cdot \frac1{r+1}x^{r+1}\right)^\prime- \frac1x\cdot \frac1{r+1}x^{r+1}$$ eşitliğini elde ederiz.

Ters türev olarak yazma:
Ayrıca $\left(\frac1{(r+1)^2}x^{r+1}\right)^\prime=\frac1{r+1}x^{r}$ olduğundan, türevin lineer özelliği gereği, pozitif gerçel sayılar üzerinde \begin{align*}x^r\cdot \ln x\ &=\ \left( \frac1{r+1}x^{r+1}\cdot \ln x\right)^\prime-  \frac1{r+1}x^{r} \\[10pt] &=\ \left(\frac1{r+1}x^{r+1}\cdot \ln x\right)^\prime- \left( \frac1{(r+1)^2}x^{r+1}\right)^\prime\\[10pt] &=\ \left( \frac1{r+1}x^{r+1}\cdot \ln x- \frac1{(r+1)^2}x^{r+1}\right)^\prime\end{align*} eşitliğini elde ederiz.

Ters türevler ve belirsiz integral:
Bu eşitlik gereği $\frac1{r+1}x^{r+1}\cdot \ln x- \frac1{(r+1)^2}x^{r+1}$ fonksiyonu $ x^r\cdot \ln x$ fonksiyonunun pozitif gerçel sayılar üzerinde bir ters türevi olur. Bu da bize, $c$ bir sabit olmak üzere,   \begin{align*}\int x^r\cdot \ln x \ dx\ &= \ \frac1{r+1}x^{r+1}\cdot \ln x- \frac1{(r+1)^2}x^{r+1}+c\\[8pt] &=\ \frac{x^{r+1}}{(r+1)^2}\cdot ((r+1)\ln x-1)+c \end{align*} eşitliğini verir.

Answer 2

Kısmı integrasyon:
Pozitif gerçel sayılar üzerinde $u(x)=\ln x$ olsun ve $v^\prime(x)=x^r$ olacak şekilde $v(x)=\frac1{r+1}x^{r+1}$ seçimi yapmalım. Bu durumda $u^\prime(x)=\frac1x$ olur ve, $c$ bir sabit olmak üzere, pozitif gerçel üzerinde\begin{align*}\int x^r\cdot \ln x\ dx \   &= \ \int \ln x\cdot x^r\ dx\\[15pt] &= \ \ln x\cdot \frac1{r+1} x^{r+1}- \int \frac1{r+1}x^{r+1}\cdot \frac1x \ dx\\[15pt] &= \ \ln x\cdot \frac1{r+1} x^{r+1}- \int \frac1{r+1}x^r \ dx\\[15pt]  &= \ \ln x\cdot \frac1{r+1} x^{r+1} - \frac1{(r+1)^2}x^{r+1} +c \\[15pt] &= \ \frac1{(r+1)^2}x^{r+1}\cdot ((r+1)\ln x-1)+c\end{align*} eşitliği sağlanır.