Has olmayı bozan noktalar:
$\ln x$, $(0,1]$ aralığı içerisindeki herhangi bir kapalı aralık üzerinde, sürekli olduğundan, sınırlı bir fonksiyondur.
Ayrıca $0$ noktasındaki sağ limiti $-\infty$ olduğundan has olmanın bir koşulu olan sınırlı olma koşulunu bozmuş oluruz.
Has olmayan integrali has olan integrallerin limiti olarak yazma:
$0^+$ yaklaşımı içerisindeki tüm integraller ayrı ayrı has integrallerdir. Has olmayan integralin tanımı gereği $$\int_0^1\ln x dx=\lim\limits_{c\to0^+}\int_{c}^{1}\ln x dx$$ integralleri ve bunların limiti ile ilgilenmeliyiz.
Belirsiz integral hesabı:
Pozitif tam gerçel üzerinde $u(x)=\ln x$ olsun ve $v^\prime(x)=1$ olacak şekilde $v(x)=x$ seçimi yapmalım. Bu durumda $u^\prime(x)=\frac1x$ olur ve, $C$ bir sabit olmak üzere, pozitif gerçel üzerinde\begin{align*}\int\ln x\ dx \ &= \ \int\left(\ln x\cdot 1 \right)\ dx \\[15pt] &= \ \ln x\cdot x- \int \frac1x\cdot x \ dx\\[15pt] &= \ x\cdot\ln x-\int 1 \ dx\\[15pt] &= \ x\cdot \ln x-x+C \end{align*} eşitliği sağlanır.
Belirli integral hesabı:
İç integrali hesaplarsak, $c\in (0,1]$ olmak üzere, \begin{align*}\int_{c}^{1}\ln x dx \ &= \ \left(x\ln x-x\right) \bigg |_c^1 \\[7mm] &= \ -1-c\ln c+c \end{align*} eşitliğini elde ederiz.
Gerekli limiti hesaplama:
$c$ sıfıra sağdan yaklaşırken $-1$ ve $c$ limitlerini bulmamız kolay. Geriye kalan $0\cdot \infty$ tarzı limiti $\infty/\infty$ formuna getirip l'Hôpital yöntemi ile bulabiliriz. Bu yol ile $$\lim\limits_{c\to0^+} c\ln c=\lim\limits_{c\to0^+}\frac{\ln c}{1/c}\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac\infty\infty\right]}\lim\limits_{c\to0^+}\frac{1/c}{-1/c^2}=\lim\limits_{c\to0^+}(-c)=-0=0$$eşitliğini elde ederiz.
Limit alma ve sonuç:
Elde ettiğimiz bilgiyi kullaırsak \begin{align*}\int_0^1\ln x dx \ &= \ \lim\limits_{c\to0^+}\int_{c}^{1}\ln x dx\\[7mm] &= \ \lim\limits_{c\to0^+}(-1-c\ln c+c)\\[7mm] &= -1-0+0\\[7mm] &= \ -1\end{align*}eşitliğini elde ederiz.