Has olmayı bozan noktalar:
$xe^{-x^2}$, $[0,\infty)$ aralığı içerisindeki herhangi bir sınırlı ve kapalı aralık üzerinde, sürekli olduğundan, sınırlı bir fonksiyondur.
$\infty$ has olmanın bir koşulu olan integral uçlarının sınırlı olma koşulunu bozmuş olur.
Has olmayan integrali has olan integrallerin limiti olarak yazma:
$\infty$ yaklaşımı içerisindeki tüm integraller ayrı ayrı has integrallerdir. Has olmayan integralin tanımı gereği $$\int_0^{\infty}xe^{-x^2}dx=\lim\limits_{R\to\infty}\int_0^{R}xe^{-x^2}dx$$ integralleri ve bunların limiti ile ilgilenmeliyiz.
Belirsiz integral hesabı:
İç integrali belirsiz integral olarak hesaplarsak \begin{align*}\int xe^{-x^2}dx\ &= \ \int -\frac12e^{t}dt \\[7mm] &=\ -\frac12e^t+c \\[7mm] &=\ -\frac12 e^{-x^2}+c\end{align*} sonucunu elde ederiz. ($c$ bir sabit.)
Belirli integral hesabı:
İç integrali hesaplarsak\begin{align*}\int_{0}^{R}xe^{-x^2}dx \ &= \ -\frac12 e^{-x^2}\bigg |_0^R \\[7mm] &= \ \frac12-\frac12 e^{-R^2} \end{align*} sonucunu elde ederiz.
Limit alma ve sonuç:
Elde ettiğimiz bilgiyi kullaırsak \begin{align*}\int_0^{\infty}xe^{-x^2}dx \ &= \ \lim\limits_{R\to\infty}\int_0^R xe^{-x^2}dx\\[7mm] &= \ \lim\limits_{R\to\infty}\left(\frac12-\frac12 e^{-R^2}\right)\\[7mm] &= \ \frac12-\frac12\cdot 0\\[7mm] &= \ \frac12\end{align*}eşitliğini elde ederiz.