+2 oy
İntegral kategorisinde tarafından
$$\int_{-\infty}^\infty\frac1{x^2+1}dx$$ integralini hesaplayınız.

1 cevap

0 oy
tarafından

Has olmayı bozan noktalar:
$1/(x^2+1)$ sürekli bir fonksiyo olduğudan has olmayı bozan $-\infty$ ve $\infty$ sıırları olur.

Has olmayan integrali temel has olmayan parçalara ayırmak:
$0$ hem solda hem sağdan has olmanın koşulunu bozan nokta olduğundan $$\int_{-\infty}^\infty\frac1{x^2+1}dx=\int_{-\infty}^0\frac1{x^2+1}dx+\int_{0}^\infty\frac1{x^2+1}dx$$ olarak integralimizi hesaplamalıyız.

Not: Bu parçaları ayrı ayrı hesaplamamız gerekir. Eğer ıraksak bir parçası varsa onu hesaplamamız yeterlidir. Burada iki parça da yakınsak olduğundan ikisini de hesaplamaız gerekir. 

İkinci parçayı hesaplama:
Has olmayan integrali has olan integrallerin limiti olarak yazma:
Has olmayan integralin tanımı gereği $$\int_{0}^\infty\frac1{x^2+1}dx=\lim\limits_{R\to\infty}\int_{0}^R\frac1{x^2+1}dx$$ integralleri ve bunların limiti ile ilgilenmeliyiz.

İntegralleri hesaplama:
İç integrali hesaplarsak\begin{align*}\int_{0}^R\frac1{x^2+1}dx\    &= \ \arctan x \bigg |_0^R \\[7mm]  &= \  \arctan R-\arctan 0 \\[7mm]  &= \ \arctan R \end{align*} sonucunu elde ederiz.

Limit alma ve ilgili integrali hesaplama:
Elde ettiğimiz bilgiyi kullaırsak \begin{align*}\int_{0}^\infty\frac1{x^2+1}dx \ &= \ \lim\limits_{R\to\infty}\int_{0}^R\frac1{x^2+1}dx\\[7mm]  &= \ \lim\limits_{R\to\infty}\arctan R\\[7mm]   &= \ \frac\pi2\end{align*}eşitliğini elde ederiz.

İkinci parçayı hesaplama:
Burada fonksiyonun çift olduğunu kullanarak ikinci kısım için de değerin $\pi/2$ olduğunu söyleyebiliriz.

Her bir has integral simetrik olarak birbirine eşit olduğundan limitleri de eşit olur.

Sonuç:
Dolayısıyla $$\int_{-\infty}^\infty\frac1{x^2+1}dx=\int_{-\infty}^0\frac1{x^2+1}dx+\int_{0}^\infty\frac1{x^2+1}dx=\frac\pi2+\frac\pi2=\pi$$ eşitliği sağlanır.

...