Has olmayı bozan noktalar:
$1/(x^2+1)$ sürekli bir fonksiyo olduğudan has olmayı bozan $-\infty$ ve $\infty$ sıırları olur.
Has olmayan integrali temel has olmayan parçalara ayırmak:
$0$ hem solda hem sağdan has olmanın koşulunu bozan nokta olduğundan $$\int_{-\infty}^\infty\frac1{x^2+1}dx=\int_{-\infty}^0\frac1{x^2+1}dx+\int_{0}^\infty\frac1{x^2+1}dx$$ olarak integralimizi hesaplamalıyız.
Not: Bu parçaları ayrı ayrı hesaplamamız gerekir. Eğer ıraksak bir parçası varsa onu hesaplamamız yeterlidir. Burada iki parça da yakınsak olduğundan ikisini de hesaplamaız gerekir.
İkinci parçayı hesaplama:
Has olmayan integrali has olan integrallerin limiti olarak yazma:
Has olmayan integralin tanımı gereği $$\int_{0}^\infty\frac1{x^2+1}dx=\lim\limits_{R\to\infty}\int_{0}^R\frac1{x^2+1}dx$$ integralleri ve bunların limiti ile ilgilenmeliyiz.
İntegralleri hesaplama:
İç integrali hesaplarsak\begin{align*}\int_{0}^R\frac1{x^2+1}dx\ &= \ \arctan x \bigg |_0^R \\[7mm] &= \ \arctan R-\arctan 0 \\[7mm] &= \ \arctan R \end{align*} sonucunu elde ederiz.
Limit alma ve ilgili integrali hesaplama:
Elde ettiğimiz bilgiyi kullaırsak \begin{align*}\int_{0}^\infty\frac1{x^2+1}dx \ &= \ \lim\limits_{R\to\infty}\int_{0}^R\frac1{x^2+1}dx\\[7mm] &= \ \lim\limits_{R\to\infty}\arctan R\\[7mm] &= \ \frac\pi2\end{align*}eşitliğini elde ederiz.
İkinci parçayı hesaplama:
Burada fonksiyonun çift olduğunu kullanarak ikinci kısım için de değerin $\pi/2$ olduğunu söyleyebiliriz.
Her bir has integral simetrik olarak birbirine eşit olduğundan limitleri de eşit olur.
Sonuç:
Dolayısıyla $$\int_{-\infty}^\infty\frac1{x^2+1}dx=\int_{-\infty}^0\frac1{x^2+1}dx+\int_{0}^\infty\frac1{x^2+1}dx=\frac\pi2+\frac\pi2=\pi$$ eşitliği sağlanır.