Question

$$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ln\left(\dfrac{n^2+1}{n^2}\right)$$ toplamının yakınsaklığını inceleyiniz.

Ek: Sorunun bir alt versiyonu olarak eşiti olan $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ln\left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)$ toplamını ve bir üst verisyonu olarak eşiti olan $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left(\ln\left(n^2+1\right)-2\ln n\right)$ toplamını düşünebilirsiniz.

Answer 1

Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız. 

Analiz:
Iraklıksaklık testinin işe yaramaması için iç terimin limiti $0$'a gitmeli, bu da $\ln$ içi limitin $1$ olması demek ki, zaten öyle. Bu nedenle iç ifadeyi sıfır noktasındaki türevi kullanabilmek için $$\ln\left(1+\dfrac1{n^2}\right)$$ olarak yazalım.

$n$ sonsuza giderken $1/n^2$ sıfıra sağdan yaklaşır. Bu nedenle $\ln(1+x)$ fonksiyonunun sıfır noktasındaki türevini düşünürsek sıfır noktasındaki $\ln(1+x)/x$ limiti $1$ olur. Bu da $1/n^2$ ile limit karşılaştırma testini uygulayabileceğimizi söyler.

Limite bakma:
Toplamımıza iç terimi $1/n^2$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulayalım. İç terimlerin limitini incelersek \begin{align*}\lim_{n \to \infty}\dfrac{ \ln\left(1+\dfrac1{n^2}\right)}{\dfrac1{n^2}}\ &= \ \lim_{x \to \infty}\dfrac{ \ln\left(1+\dfrac1{x^2}\right)}{\dfrac1{x^2}} \qquad (\text{Gerçel tanım kümesi})\\[15pt] \ &= \ \lim\limits_{t \to 0^+}\dfrac{\ln(1+t)}{t} \qquad (t=x^{-2} \ \text{dönüşümü})\\[15pt]&= \ \frac{1}{1+0} \qquad\qquad \left(\frac{d}{dx}(\ln(1+x))=\frac{1}{1+x}\right)\\[15pt] &= \ 1\end{align*} eşitliği sağlanır.

Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}$$ toplamı, $p=2> 1$ olduğundan,  $p$-toplam testi gereği yakınsar.

Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın yakınsaklığı:
Bu limitin sonucu ile pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \ln\left(\dfrac{n^2+1}{n^2}\right)$$ toplamı, limit karşılaştırma testi gereği, yakınsak olur.

Answer 2

Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız. 

Analiz:
İç ifadeyi $\ln\left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)$ olarak görüp $\ln(1+x)\le x$ eşitsizliğini kullanabilbiliriz.  Bu da toplamı yakınsak olan $1/n^2$ ile limit karşılaştırma testini uygulayabileceğimizi söyler.

Direkt karşılaştırma testi için bir eşitsizlik:
Her $x>0$ için $\ln(1+x)\le x$ eşitsizliği sağlanır. Bu eşitsizliği kullanarak $$\ln\left(\dfrac{n^2+1}{n^2}\right)=\ln\left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)\le \dfrac1{n^2}$$ eşitsizliği olur.

Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$p=2> 1$ olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}$$ toplamı  $p$-toplam testi gereği yakınsaktır.

Toplamın yakınsaklığı:
Bu toplam yakınsak olduğundan, limit karşılaştırma testi gereği, pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\ln\left(\dfrac{n^2+1}{n^2}\right)$$ toplamı yakınsak olur.

___________________________________

Ek:
Negatif olmayan gerçel sayılar üzerinde $f(x)=x-\ln (1+x)$ kurallı $f$ fonksiyonunu tanımlarsak $f(0)=0$ eşitliği ve \[f^\prime(x)=1-\frac1{x+1}\ge 0\] eşitsizliği sağlanır. Dolayısıyla her $x$ pozitif gerçel sayısı için \[x-\ln (1+x)\ge 0 \ \ \ \text{ yani}  \ \ \ \ln (1+x) \le x\]eşitsizliği sağlanır.