Ara Değer Savı (İspat)

Question

Ara Değer Savının sıfır değerine özel hali:
$b>a$ gerçel sayılar olmak üzere $f:[a,b]\to \mathbb R$ fonksiyonu sürekli ve $f(a)\cdot f(b)$ değeri negatif ise $$f(c)=0$$ eşitliğini sağlayan bir $c\in [a,b]$ değeri vardır.

Ara Değer Savı:
$b>a$ gerçel sayılar olmak üzere $f:[a,b]\to \mathbb R$ fonksiyonu sürekli ise $f(a)$ ile $f(b)$ arasındaki bir $s$ değeri için $$f(c)=s$$ eşitliğini sağlayan bir $c\in [a,b]$ değeri vardır.

Answer 1

Bu cevap altında sıfır değerine özel halin ispatını vereceğiz.
_______________________________

$f(a)$ pozitif ya da negatif olabilir. Bunlardan birisi için ispatı verdiğimizde diğerini nasıl ispatlayabileceğimizi gösterelim.

f(a) değerinin negatif olduğu kabul etme:
$f(a)$ değerinin negatif olduğu kabul edelim. Bu durumu ispatladığımızda $f(a)$ değerinin pozitif olduğu durumu $-f$ fonksiyonu ile ilgilenerek verebiliriz.

$f(a)$ değerinin negatif olduğu durumu için ispat verirsek $f(a)$ değerinin pozitif olduğu durumu şu şekilde ispatlayabiliriz:

$-f$ fonksiyonu ile ilgilenelim. $f$ fonksiyonu sürekli olduğundan $-f$ fonksiyonu da sürekli olur. Ayrıca $-f(a)$ ve $(-f)(a)\cdot (-f)(b)=f(a)\cdot f(b)$ değeleri negatif olduğundan, yapacağımız ispat gereği, bir $c\in (a,b)$ için $$(-f)(c)=0 \ \ \ \text{ yani } \ \ \ f(c)=0$$ eşitliği sağlanır.

_____________________________________

f(a) değerinin negatif olduğu durumu ispatlama:

İspat:
$f(a)$ değerinin negatif olduğunu kabul edelim ve $S=\{x\in [a,b] \ : \ f(x)< 0\}$ olarak tanımlayalım. $a\in S$ olduğundan $S$ boş küme değildir. Ayrıca $S$ üstten $b$ ile sınırlı olduğundan bir en küçük üst sınıra sahiptir. Bu en küçük üst sınıra $c$ diyelim. 

Amaç:
$f(c)=0$ olduğunu göstermektir.

f(c) sıfır olmazsa:
$f(c)\ne 0$ olduğunu kabul edersek $f$ fonksiyonu sürekli olduğundan $\epsilon=\frac{|f(c)|}2>0$ için öyle bir $\delta>0$ değeri vardır ki $|x-c|<\delta$ ve $x\in [a,b]$ olduğunda $$|f(x)-f(c)|< \frac{|f(c)|}2 \ \ \ \text{ yani } \ \ \ f(c)- \frac{|f(c)|}2< f(x)< f(c)+ \frac{|f(c)|}2$$ eşitsizliği sağlanır.

Alt durum f(c) negatif olursa:
$f(c)$ değerinin negatif olduğunu kabul edersek $|x-c|<\delta$ ve $x\in [a,b]$ olduğunda $$f(x)< f(c)+ \frac{|f(c)|}2=\frac{f(c)}2<0$$ eşitsizliği sağlanır. Bu eşitsizlik gereği $c= b$ olamayacağından $c$ değerinden büyük ve $b$ değerinden küçük bir değer için de $f$ fonksiyonu negatif değer alır ve $c$ değeri $S$ kümesinin en küçük üst sınırı olamaz.  Bu da bir çelişki verir.

Alt durum f(c) pozitif olursa:
$f(c)$ değerinin pozitif olduğunu kabul edersek $|x-c|<\delta$ ve $x\in [a,b]$ olduğunda $$f(x)>f(c)- \frac{|f(c)|}2=\frac{f(c)}2>0$$ eşitsizliği sağlanır. Bu eşitsizlik gereği $c= a$ olamayacağından $(a,c)$ içerisinde boş olmayan ve sağ ucu $c$ olan bir açık aralıkta $f$ fonksiyonu pozitif değer alır ve bu aralık içerisindeki değerler $S$ kümesine ait olmaz. Dolayısıyla $c$ değeri $S$ kümesinin en küçük üst sınırı olamaz.  Bu da bir çelişki verir.

f(c) sıfır olmalı:
$f(c)$ değeri ya pozitif ya negatif ya da sıfır olmalıdır. Yukarıda pozitif ya da negatif olamayacağını gösterdiğimiz için $f(c)$ değeri sıfıra eşit olur.

Answer 2

Bu başlık altında sıfıra özel hali kullanarak Ara Değer Savını ispatlayacağız.

(0) $s$ değeri $f(a)$ ya da $f(b)$ değerine eşit ise sav doğru olur. 

(1) $s$ değeri $f(a)$ ya da $f(b)$ değerine eşit değilse $g=f-s$ olarak tanımlayalım. $f$ fonksiyonu ve sabit $s$ fonksiyonu sürekli olduğundan bunların farkı olan $g$ fonksiyonu da sürekli olur. $s$ değeri $f(a)$ ile $f(b)$ arasında bunlara eşit olmayan bir değer olduğundan $$g(a)\cdot g(b)=(f(a)-s)\cdot (f(b)-s)$$ negatif olur. Ara Değer Savının sıfır değerine özel hali gereği bir $c\in (a,b)$ için $$0=g(c)=f(c)-s$$ eşitliği; yani $f(c)=s$ eşitliği sağlanır.