+1 oy
Limit kategorisinde tarafından
$$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{(1-\cos \sqrt{x})^2}{1-\sqrt{\cos x}}$$ limitini bulunuz.

1 cevap

0 oy
tarafından

Payı $\sin$ cinsinden yazabilmek için payı ve paydayı limiti $0$ olmayan $(1+\cos \sqrt{x})^2$ ile; paydayı  $\sin$ cinsinden yazabilmek için payı ve paydayı limiti $0$ olmayan $1+\sqrt{\cos x}$ ve $1+\cos $ ile çarpalım. $\cos 2\theta=1-\sin^2 \theta$ eşitliğini kullanalım ve $0$ noktasında $x^{-1}\sin x$ limitinin $1$ eşit olduğunu kullanacak şekilde ifadeyi düzenleyerek  limit değerini bulalım. Bu yöntem ile  \begin{align*}  \lim\limits_{x\to 0}&\dfrac{(1-\cos \sqrt{x})^2}{1-\sqrt{\cos x}}\\[22pt]&=\lim\limits_{x\to 0} \left[\dfrac{(1-\cos \sqrt{x})^2}{1-\sqrt{\cos x}}\cdot \dfrac{(1+\cos \sqrt{x})^2}{(1+\cos \sqrt{x})^2}\cdot \frac{1+\sqrt{\cos x}}{1+\sqrt{\cos x}}\cdot \frac{1+\cos x}{1+\cos x} \right]\\[22pt]&=\lim\limits_{x\to 0} \left[\dfrac{(1-\cos^2 \sqrt{x})^2}{1-\cos^2 x}\cdot \dfrac{(1+\sqrt{\cos x})\cdot(1+\cos x)}{(1+\cos \sqrt{x})^2} \right]\\[22pt]&=\lim\limits_{x\to 0} \left[\dfrac{\sin^4 \sqrt{x}}{\sin^2 x}\cdot \dfrac{(1+\sqrt{\cos x})\cdot(1+\cos x)}{(1+\cos \sqrt{x})^2} \right]\\[22pt]&=\lim\limits_{x\to 0} \left[\left(\dfrac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt x}\right)^4\cdot \left(\frac{x}{\sin x}\right)^2\cdot \dfrac{(1+\sqrt{\cos x})\cdot(1+\cos x)}{(1+\cos \sqrt{x})^2} \right]\\[22pt]&=1^4\cdot (1^{-1})^2\cdot \frac{(1+\sqrt{\cos 0})\cdot (1+\cos 0)}{(1+\cos\sqrt0)^2}\\[22pt]&=1\end{align*} eşitliğini elde ederiz.

_____________________

Kullanılan bir bilgi:
$u$ fonksiyonu $a$'nın bir civarında sıfır fonksiyon olmasın ve $\lim\limits_{x\to a} u(x)=0$ sağlansın. Bu durumda $$\lim\limits_{x\to a} \dfrac{\sin u(x)}{u(x)}=1$$eşitliği sağlanır.

Bu bilgiyi $a=0$ ile $u(x)=\sqrt x$ kurallı $u: \mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonu için kullandık. 

...