Türevlenebilir ise süreklidir.

Question

$A\subseteq \mathbb R$ olmak üzere $f: A \to \mathbb R$ fonksiyonu bir $a$ gerçel sayısı üzerinde türevlenebilirse bu $a$ noktasında sürekli de olur.

Answer 1

$f$ fonksiyonu  $a$ noktasında türevlenebilir olduğundan $f^\prime (a)$ değeri vardır ve $$f^\prime (a)=\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$ eşitliği sağlanır.

Ayrıca $\lim\limits_{x\to a}(x-a)=0$ olduğundan $$\lim\limits_{x\to a}\left(f(x)-f(a)\right)=\lim\limits_{x\to a}\left(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot (x-a)\right)=f^\prime(a)\cdot 0=0$$ eşitliği sağlanır.

Bu eşitlik ile $$\lim\limits_{x\to a}f(x)=\lim\limits_{x\to a}\left(\left(f(x)-f(a)\right)+f(a)\right)=0+f(a)=f(a)$$ eşitliğini ve dolayısıyla $f$ fonksiyonunun $a$ noktasında sürekli olduğunu elde ederiz.