$\displaystyle \int \dfrac{1}{ax^2+bx+c} dx$ için genel bir eşitlik

Question

$a$, $b$ ve $c$ gerçel sayılar olmak üzere $a\ne 0$ ve $b^2-4ac<0$ sağlansın. Bu şartlar altında, $C$ sabit olmak üzere, $$\int  \frac{1}{ax^2+bx+c} \ dx=\frac{2}{\sqrt{4ac-b^2}}\arctan\left(\dfrac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}\right)+C$$ eşitliği sağlanır.

Answer 1

Rahat bir şekilde dönüşüm uygulayabilmek için paydadaki ikinci dereceden polinomu\begin{align*}a\left(x^2+\dfrac bax+\dfrac ca\right)&= a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+\left(\dfrac ca -\dfrac{b^2}{4a^2}\right)\right]\\[22pt]&=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac {4ac-b^2}{4a^2}\right]\\[22pt]& =\frac{4ac-b^2}{4a}\left[\left( \frac{2a}{\sqrt{4ac-b^2}}\left(x+\frac b{2a}\right)\right)^2 +1\right]\end{align*} olarak düzenleyelim.

 $u=\dfrac{2a}{\sqrt{4ac-b^2}}\left(x+\dfrac b{2a}\right)$ dönüşümünü uygulayalım.

Bu dönüşüm ile $du=\dfrac{2a}{\sqrt{4ac-b^2}}dx$ olur ve integralimiz, $C$ sabit olmak üzere,

\begin{align*}\int  \frac{1}{ax^2+bx+c}dx&=\displaystyle{\Huge\int} \frac{1}{\frac{4ac-b^2}{4a}\left[\left( \frac{2a}{\sqrt{4ac-b^2}}\left(x+\frac b{2a}\right)\right)^2 +1\right]}dx\\[22pt]&=\frac{4a}{4ac-b^2}\displaystyle{\Huge\int}  \frac{1}{\left( \frac{2a}{\sqrt{4ac-b^2}}\left(x+\frac b{2a}\right)\right)^2 +1}dx\\[22pt]&= \frac{4a}{4ac-b^2}\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}\int\frac{1}{u^2+1}du\\[22pt]&=\frac{2}{\sqrt{4ac-b^2}}\arctan u+C\\[22pt]&=\frac{2}{\sqrt{4ac-b^2}}\arctan\left[\dfrac{2a}{\sqrt{4ac-b^2}}\left(x+\dfrac b{2a}\right) \right]+C\\[22pt]&=\frac{2}{\sqrt{4ac-b^2}}\arctan\left(\dfrac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}\right)+C\end{align*} eşitliği sağlanır.